Feladat: B.3824 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bitai Tamás ,  Bodzsár Erik ,  Bogár Péter ,  Csaba Ákos ,  Csató László ,  Dányi Zsolt ,  Darázs Zoltán ,  Gombkötő Tamás ,  Hujter Bálint ,  Károlyi Gergely ,  Károlyi Márton ,  Kecskeméti Szabolcs ,  Kiss-Tóth Christian ,  Kómár Péter ,  Komáromy Dani ,  Kovács 129 Péter ,  Kunovszki Péter ,  Lorántfy Bettina ,  Mátyás Péter ,  Mészáros Gábor ,  Nagy János ,  Nagy Péter ,  Nagy-Baló András ,  Pesti Veronika ,  Sümegi Károly ,  Szirmai Péter ,  Tomon István ,  Tossenberger Anna ,  Tóthmérész Lilla 
Füzet: 2007/január, 17 - 18. oldal  PDF file
Témakör(ök): Térgeometriai bizonyítások, Tetraéderek, Középpontos tükrözés, Térfogat, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/május: B.3824

Egy tetraéder minden csúcsát tükrözzük a szemközti lap súlypontjára. Mutassuk meg, hogy a tükörképek által meghatározott tetraéder térfogata legalább négyszerese az eredeti tetraéder térfogatának.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük a tetraéder csúcspontjait A, B, C, D-vel; a feladatban szereplő tükörképüket pedig rendre A', B', C', D'-vel.
A tetraéder A csúcsából kiinduló súlyvonalának hossza legyen 4a, talppontja Sa, a B csúcsból induló súlyvonal hossza 4b, talppontja Sb stb.

 
 

A tetraéder egy-egy súlyvonala egy csúcsot köt össze a szemközti lap súlypontjával, ezért az AA' és a BB' szakaszok a tetraéder súlyvonalainak egyenesére esnek. A tükrözés tulajdonságai miatt: ASa=SaA'=4a és BSb=SbB'=4b.
Ismeretes, hogy a tetraéder súlyvonalai egy pontban metszik egymást (ez a tetraéder S súlypontja), és ez a pont a csúcstól távolabbi negyedelőpontja a súlyvonalaknak; ezért AS=3a, BS=3b és SA'=5a, SB'=5b.
Így az ASB és az A'SB' háromszögek hasonlóak, mivel ASB=A'SB' (csúcsszögek) és két-két oldaluk aránya egyenlő: ASA'S=BSB'S=35. A párhuzamos szelők tételének megfordítása szerint ABA'B' és ezen szakaszok aránya is egyenlő a két háromszög hasonlóságának arányával, 35-del.
Ugyanígy belátható, hogy az A'B'C'D' tetraéder többi éle is párhuzamos az ABCD tetraéder megfelelő éleivel, és hosszuk az eredeti tetraéder élhosszainak 53-szorosa. Tehát az A'B'C'D' tetraéder az ABCD tetraédernek 53 arányú, S középpontú nagyított képe, a két tetraéder hasonló.
Térfogatuk aránya a hasonlóság arányának köbe:
VA'B'C'D'VABCD=(53)3=12527>4.
Így a tükörképek által meghatározott tetraéder térfogata valóban több, mint négyszerese az eredeti tetraéder térfogatának.