Kezdőlap


Feladat:	B.3816	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szabó Tamás
Füzet:	2007/január, 16 - 17. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Alakzatba írt kör, Síkgeometriai bizonyítások, Trigonometrikus függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/április: B.3816

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ismert, hogy bármely háromszög területe kiszámítható az $\frac{R^{2}}{2} \cdot (sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ)$ formában, ahol $R$ a körülírt kör sugara, $α$ , $β$ , $γ$ pedig a háromszög belső szögei. A formula könnyen bizonyítható, ha a háromszög területét azon három háromszög területének összegeként írjuk fel, melyeket a körülírt kör középpontját a csúcsokkal összekötő szakaszok alakítanak ki a háromszög oldalaival. Ezekre a háromszögekre külön-külön írjuk fel a jól ismert $t = \frac{a b sin γ}{2}$ területképletet, valamint felhasználjuk, hogy egy adott ívhez tartozó középponti szög kétszerese az ugyanezen ívhez tartozó kerületi szögnek.

A csúcsokat a beírt kör középpontjával összekötő egyenesek nyilván a szögfelezők lesznek. Mivel egyenlő kerületi szögekhez egyenlő ívek tartoznak, az

A_{1} C

és az

A_{1} B

ívek egyenlők. Ugyanígy a

B_{1} A

ív is egyenlő a

B_{1} C

ívvel és a

C_{1} A

ív is egyenlő a

C_{1} B

ívvel. Mivel a két ív összegéhez tartozó kerületi szög egyenlő a két ívhez tartozó kerületi szögek összegével, azért

\begin{matrix} α_{1} = \frac{β + γ}{2}, β_{1} = \frac{α + γ}{2}, γ_{1} = \frac{α + β}{2}, \end{matrix}

ahol

α_{1}

β_{1}

és

γ_{1}

A_{1} B_{1} C_{1}

háromszög belső szögei. Az

A_{1} B_{1} C_{1}

háromszögnek ugyanaz a körülírt köre, mint az

A B C

háromszögnek, ezért körülírt körük sugara is egyenlő. Így az

A_{1} B_{1} C_{1}

háromszög területe az iménti képlet alapján:

\begin{matrix} \frac{R^{2}}{2} \cdot (sin 2 α_{1} + sin 2 β_{1} + sin 2 γ_{1}) . \end{matrix}

Ez ‐ a háromszög belső szögei közti összefüggést, a szinuszfüggvény tulajdonságait és a fentieket is figyelembe véve ‐ a következőképpen alakítható át:

\begin{matrix} T & = \frac{R^{2}}{2} \cdot (sin 2 α_{1} + sin 2 β_{1} + sin 2 γ_{1}) = \\ = \frac{R^{2}}{2} \cdot (sin (β + γ) + sin (α + γ) + sin (α + β)) = \\ = \frac{R^{2}}{2} \cdot (sin (180^{\circ} - α) + sin (180^{\circ} - β) + sin (180^{\circ} - γ)) = \\ = \frac{R^{2}}{2} \cdot (sin α + sin β + sin γ) . \end{matrix}

Ezzel a feladat állítását beláttuk.

Megjegyzés. Az

A_{1} B_{1} C_{1}

háromszög belső szögeinek kiszámítása után látható, hogy az

A_{1} B_{1} C_{1}

háromszög bármilyen

A B C

háromszög esetén hegyesszögű.