Kezdőlap


Feladat:	C.877	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Csányi Gergely , Kiss Judit
Füzet:	2007/május, 282 - 283. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, Téglalapok, Húrnégyszögek, Trapézok, Hasonlósági transzformációk, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/december: C.877

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Hajtsuk ketté az $A C B D$ téglalapot az $A B$ átlója mentén. Mivel a téglalap csúcsainál levő szögek $90^{\circ}$ -osak, azért $A C B ∢$ és $A D B ∢$ derékszög, és így $C$ és $D$ az $A B$ mint átmérő fölé rajzolt Thalész-körön van.
Húzzuk be a sugarakat a $C$ és $D$ pontból; így kialakul 3 db egyenlő szárú háromszög: $A O D ▵$ ; $D O C ▵$ ; $C O B ▵$ . Ezeknek a harmadik oldaluk is egyenlő hosszú, ezért a szárak által bezárt szögek 60 fokosak, a háromszögek szabályosak:

\begin{matrix} a = r = 5 \sqrt[]{3} . \end{matrix}

Mivel a

D A B ▵

szögei:

90^{\circ}

;

60^{\circ}

;

30^{\circ}

, azért

\begin{matrix} sin 60^{\circ} = \frac{b}{10 \sqrt[]{3}}, \end{matrix}

ebből

b = 15

.
A téglalap oldalai:

a = 5 \sqrt[]{3}

és

b = 15

II. megoldás. A kettéhajtással keletkezett trapéz negyedik csúcsa legyen

A'

. A

D C A' ▵

egyenlő szárú,

F

D C

felezőpontja, így

A' F

a háromszög szimmetriatengelye, azaz

A' F C ∢ = 90^{\circ}

A' C F ∢ = A B D ∢

, mert egyállású szögek, ugyanígy

A D B ∢ = F A' C ∢

D A B ▵ \sim A' F C ▵

, mert szögeik páronként egyenlő nagyságúak. Ebből következik, hogy oldalaik aránya páronként egyenlő:

F C : A' C = A B : B D

, így

\begin{matrix} \frac{a}{2} : b = a : 10 \sqrt[]{3}, 2 b = 10 \sqrt[]{3}, b = 5 \sqrt[]{3} . \end{matrix}

A B D

háromszögben a Pitagorasz-tétel alapján

a^{2} + 75 = 300

, így

a = 15