Feladat: C.877 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Csányi Gergely ,  Kiss Judit 
Füzet: 2007/május, 282 - 283. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometriával, Téglalapok, Húrnégyszögek, Trapézok, Hasonlósági transzformációk, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/december: C.877

Egy téglalap alakú lapot kettéhajtottunk az átlója mentén úgy, hogy a négy csúcs egy olyan húrtrapézt határoz meg, amelynek három oldala egyenlő, a negyedik oldal hossza pedig 103. Mekkorák az eredeti téglalap oldalai?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Hajtsuk ketté az ACBD téglalapot az AB átlója mentén. Mivel a téglalap csúcsainál levő szögek 90-osak, azért ACB és ADB derékszög, és így C és D az AB mint átmérő fölé rajzolt Thalész-körön van.
Húzzuk be a sugarakat a C és D pontból; így kialakul 3 db egyenlő szárú háromszög: AOD; DOC; COB. Ezeknek a harmadik oldaluk is egyenlő hosszú, ezért a szárak által bezárt szögek 60 fokosak, a háromszögek szabályosak:

a=r=53.

 
 

Mivel a DAB szögei: 90; 60; 30, azért
sin60=b103,
ebből b=15.
A téglalap oldalai: a=53 és b=15.
 
II. megoldás. A kettéhajtással keletkezett trapéz negyedik csúcsa legyen A'. A DCA' egyenlő szárú, F a DC felezőpontja, így A'F a háromszög szimmetriatengelye, azaz A'FC=90. A'CF=ABD, mert egyállású szögek, ugyanígy ADB=FA'C.
 
 

DABA'FC, mert szögeik páronként egyenlő nagyságúak. Ebből következik, hogy oldalaik aránya páronként egyenlő: FC:A'C=AB:BD, így
a2:b=a:103,2b=103,b=53.

Az ABD háromszögben a Pitagorasz-tétel alapján a2+75=300, így a=15.