Kezdőlap


Feladat:	3843. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Filep Tamás , Filep Tibor , Hasznos László , Károlyi Márton , Kruppa Gergő , Matulik Gábor , Nagy Csaba , Nagy Péter , Nyíri Dávid Ákos , Pósa László , Szolnoki Lénárd , Szűcs Gergely , Tóth Gábor , Werner Miklós
Füzet:	2006/december, 560 - 561. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb matematikai inga, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/november: 3843. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A gyűrű alján, az ábrán látható 1. helyzetben elhelyezkedhet a gyöngyszem, hiszen itt nem végez körmozgást, és csupán függőleges irányú erők hatnak rá, melyek kiegyenlítik egymást. Ugyanez érvényes a felső, 3. helyzetre is.

Vajon van-e ezektől eltérő (2. jelzésű) állapota a gyöngynek, ahol ‐ állandó

α

szöggel jellemzett helyzetben ‐ körmozgást végezhet? Az ábra jelöléseivel a gyöngyszem mozgásegyenletei:

\begin{matrix} K cos α - m g = 0, & (1) \\ K sin α = m (R sin α) ω^{2} . & (2) \end{matrix}

Mivel az 1.-től és a 3.-tól eltérő helyzeteket keresünk,

sin α \neq 0,

így a (2) egyenletben egyszerűsíthetünk vele:

\begin{matrix} K = m R ω^{2}, \end{matrix}

amit (1)-be helyettesítve

cos α = \frac{g}{R ω^{2}}

, azaz

\begin{matrix} α = arccos \frac{g}{R ω^{2}} \end{matrix}

(3)

adódik. Mikor van megoldása a fenti egyenletnek? A jobb oldalon a tört pozitív, így nyilván

α < 90^{\circ}

. Másrészt

cos α < 1

, tehát (3)-nak csak akkor lehet megoldása, ha

g < R ω^{2}

.
A gyöngy ,,egyensúlyi'' helyzetei és ezek stabilitása vagy instabilitása a szögsebesség nagyságától függ. Három esetet különböztethetünk meg:

A

: A gyűrű viszonylag lassan forog,

g > R ω^{2}

. Ebben az esetben az 1. helyzet stabil, a 3. instabil állapotnak felel meg, a 2. helyzetnek megfelelő (3) egyenletnek pedig nincs megoldása.

B

: A gyűrű viszonylag gyorsan forog,

g < R ω^{2}

. Ebben az esetben az 1. helyzet is és a 3. is instabil, ezekből bármilyen kicsit kitérítve a gyöngyszemet, az eltávolodik onnan. A 2. helyzetnek megfelelő (3) egyenlet azonban most megoldható, s belátható, hogy a megoldás stabil ,,egyensúlyt'' ír le.

C

: Határesetben

g = R ω^{2}

, ilyenkor ugyanaz a helyzet, mint az

A

esetben: a gyöngyszem alsó helyzete stabil, a legfelső pedig instabil egyensúlynak felel meg.