Feladat: 3843. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Filep Tamás ,  Filep Tibor ,  Hasznos László ,  Károlyi Márton ,  Kruppa Gergő ,  Matulik Gábor ,  Nagy Csaba ,  Nagy Péter ,  Nyíri Dávid Ákos ,  Pósa László ,  Szolnoki Lénárd ,  Szűcs Gergely ,  Tóth Gábor ,  Werner Miklós 
Füzet: 2006/december, 560 - 561. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb matematikai inga, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/november: 3843. fizika feladat

Kör alakú, merev gyűrűn súrlódás nélkül csúszkálhat egy gyöngyszem. Ha ezt az R sugarú gyűrűt függőleges átmérője körül ω szögsebességű forgásba hozzuk, hol helyezkedhet el rajta a gyöngyszem?
Vizsgáljuk meg e helyzetek stabilitását is.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A gyűrű alján, az ábrán látható 1. helyzetben elhelyezkedhet a gyöngyszem, hiszen itt nem végez körmozgást, és csupán függőleges irányú erők hatnak rá, melyek kiegyenlítik egymást. Ugyanez érvényes a felső, 3. helyzetre is.

 
 

Vajon van-e ezektől eltérő (2. jelzésű) állapota a gyöngynek, ahol ‐ állandó α szöggel jellemzett helyzetben ‐ körmozgást végezhet? Az ábra jelöléseivel a gyöngyszem mozgásegyenletei:
Kcosα-mg=0,(1)Ksinα=m(Rsinα)ω2.(2)


Mivel az 1.-től és a 3.-tól eltérő helyzeteket keresünk, sinα0, így a (2) egyenletben egyszerűsíthetünk vele:
K=mRω2,
amit (1)-be helyettesítve cosα=gRω2, azaz
α=arccosgRω2(3)
adódik. Mikor van megoldása a fenti egyenletnek? A jobb oldalon a tört pozitív, így nyilván α<90. Másrészt cosα<1, tehát (3)-nak csak akkor lehet megoldása, ha g<Rω2.
A gyöngy ,,egyensúlyi'' helyzetei és ezek stabilitása vagy instabilitása a szögsebesség nagyságától függ. Három esetet különböztethetünk meg:
A: A gyűrű viszonylag lassan forog, g>Rω2. Ebben az esetben az 1. helyzet stabil, a 3. instabil állapotnak felel meg, a 2. helyzetnek megfelelő (3) egyenletnek pedig nincs megoldása.
B: A gyűrű viszonylag gyorsan forog, g<Rω2. Ebben az esetben az 1. helyzet is és a 3. is instabil, ezekből bármilyen kicsit kitérítve a gyöngyszemet, az eltávolodik onnan. A 2. helyzetnek megfelelő (3) egyenlet azonban most megoldható, s belátható, hogy a megoldás stabil ,,egyensúlyt'' ír le.
C: Határesetben g=Rω2, ilyenkor ugyanaz a helyzet, mint az A esetben: a gyöngyszem alsó helyzete stabil, a legfelső pedig instabil egyensúlynak felel meg.