Kezdőlap


Feladat:	3852. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Almási Gábor , Pósa László
Füzet:	2006/október, 440 - 442. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Határozatlansági (Heisenberg-) reláció, Egyéb fizikai optika, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/december: 3852. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Egy $Δ t$ ideig tartó fényimpulzus hossza $Δ x = c Δ t$ , ahol $c$ a vákuumbeli fénysebesség. A fényhullámvonulat helyének bizonytalansága körülbelül (nagyságrendileg) $Δ x$ , így a fotonjainak $p$ impulzusa sem lehet pontosan meghatározott érték, hanem (a Heisenberg-féle $Δ x Δ p ⪆ \frac{h}{2 π}$ összefüggés alapján)

\begin{matrix} Δ p \approx \frac{h}{2 π Δ x} = \frac{h}{2 π c Δ t}, \end{matrix}

ahol

h

a Planck-állandó.
Másrészt a fotonok impulzusa a de Broglie-összefüggés szerint

p = \frac{h}{λ}

, és ennek bizonytalansága kifejezhető a hullámhossz-bizonytalansággal:

\begin{matrix} Δ p = p_{2} - p_{1} = h (\frac{1}{λ_{1}} - \frac{1}{λ_{2}}) = h \frac{λ_{2} - λ_{1}}{λ_{1} λ_{2}} \approx h \frac{Δ λ}{λ^{2}} \end{matrix}

(ahol

λ_{1}

és

λ_{2}

a legnagyobb és a legkisebb hullámhossz,

λ

pedig az átlagos fényhullámhossz a hullámvonulatban).

Δ p

kétféle kifejezését összevetve

\begin{matrix} \frac{h}{2 π c Δ t} \approx h \frac{Δ λ}{λ^{2}}, \end{matrix}

a keresett hullámhossz-bizonytalanság tehát

\begin{matrix} Δ λ \approx \frac{λ^{2}}{2 π c Δ t} \approx 40 nm. \end{matrix}

II. megoldás. A Heisenberg-féle határozatlansági reláció kevésbé ismert alakja:

\begin{matrix} Δ E \cdot Δ t ⪆ \frac{h}{2 π}, \end{matrix}

ahol

E

egy részecske (jelen esetben egy foton) energiája,

Δ t

pedig az az idő, ameddig megfigyeljük a részecskét (mérjük az energiáját),

h

pedig a Planck-állandó. Mivel a foton energiája az

f

frekvenciával

E = h f

kapcsolatban áll, a foton frekvenciájának bizonytalansága

\begin{matrix} Δ f = \frac{1}{2 π Δ t} . \end{matrix}

Próbáljuk meg kifejezni a frekvencia bizonytalanságát a hullámhossz bizonytalanságával! Mivel

f = c / λ

, a differenciálszámítás összefüggései alapján

\begin{matrix} \frac{Δ f}{Δ λ} \approx - \frac{c}{λ^{2}}, \end{matrix}

innen (a bizonytalanság nagysága szempontjából lényegtelen negatív előjelet elhagyva)

\begin{matrix} Δ λ \approx Δ f \cdot \frac{λ^{2}}{c} = \frac{λ^{2}}{2 π c Δ t} \approx 4 \cdot 10^{- 8} m. \end{matrix}

Megjegyzés. Mindkét megoldás a kvantumelmélet egyik alapösszefüggését, a Heisenberg-féle határozatlansági relációt használta fel. Ez azt sugallhatja, hogy a vizsgált jelenség (a véges ideig tartó fényhullám hullámhosszának bizonytalansága) alapvetően kvantumfizikai természetű. Ez azonban nem igaz! A klasszikus fizika akármelyik hullámformájára, pl. a hanghullámokra, vagy akár a vízhullámokra is érvényes a hullámhossz ,,bizonytalansága'' és a hullámvonulat kiterjedése közötti

Δ λ \cdot Δ x ⪆ 1

összefüggés.
Gondoljuk meg, hogyan tudjuk egy véges hosszúságú, de nagyjából egyenletesen hullámzó hullámvonulat hullámhosszát meghatározni! Megszámoljuk, a vonulatban hány hullámhegy található (legyen ez a szám

n

), és a hullámvonulat hosszát elosztjuk

n

-nel:

λ \approx \frac{Δ x}{n}

.
Milyen pontossággal tudjuk így

λ

-t meghatározni? Ez azon múlik, hogy mennyire pontosan ismerjük

n

-et. A hullámvonulat széleinél (ahol a hullámok amplitúdója szinte nullává válik) egyre nehezebb megállapítani, hogy látunk-e még hullámhegyeket,

n

megszámolásánál tehát néhányat, mondjuk

\pm 1

-et tévedhetünk. Ebből a hibából adódó hullámhosszbizonytalanságra fennáll:

\begin{matrix} Δ (\frac{1}{λ}) = - \frac{Δ λ}{λ^{2}} \approx \frac{1}{Δ x} \cdot Δ n \approx \pm \frac{1}{Δ x} . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} Δ λ \approx \frac{λ^{2}}{Δ x} = \frac{λ^{2}}{c Δ t} . \end{matrix}

Ez a kifejezés ‐

2 π

faktortól eltekintve ‐ megegyezik a határozatlansági relációra alapozott számítás eredményével. Ez az eltérés azonban elfogadható, hiszen mindegyik megfontolást csak nagyságrendi becslésnek szabad tekintenünk. A képletek pontosabbá tételéhez egyértelműen meg kellene mondani, mit is jelent egy mennyiség bizonytalansága, határozatlansága. Ha ezt megtesszük, és a Heisenberg-relációt is ennek megfelelően pontosítjuk, a különböző megfontolások eredménye nem csak nagyságrendileg, hanem számszerűen is egyezni fog.