Feladat: 3852. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Almási Gábor ,  Pósa László 
Füzet: 2006/október, 440 - 442. oldal  PDF file
Témakör(ök): Határozatlansági (Heisenberg-) reláció, Egyéb fizikai optika, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/december: 3852. fizika feladat

Egy speciális lézerrel 510-15 másodpercig tartó, 600 nm átlagos hullámhosszú fényimpulzusokat hozunk létre.
Mekkora ezeknek a fotonoknak a hullámhossz-bizonytalansága?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Egy Δt ideig tartó fényimpulzus hossza Δx=cΔt, ahol c a vákuumbeli fénysebesség. A fényhullámvonulat helyének bizonytalansága körülbelül (nagyságrendileg) Δx, így a fotonjainak p impulzusa sem lehet pontosan meghatározott érték, hanem (a Heisenberg-féle ΔxΔph2π összefüggés alapján)

Δph2πΔx=h2πcΔt,
ahol h a Planck-állandó.
Másrészt a fotonok impulzusa a de Broglie-összefüggés szerint p=hλ, és ennek bizonytalansága kifejezhető a hullámhossz-bizonytalansággal:
Δp=p2-p1=h(1λ1-1λ2)=hλ2-λ1λ1λ2hΔλλ2
(ahol λ1 és λ2 a legnagyobb és a legkisebb hullámhossz, λ pedig az átlagos fényhullámhossz a hullámvonulatban).
Δp kétféle kifejezését összevetve
h2πcΔthΔλλ2,
a keresett hullámhossz-bizonytalanság tehát
Δλλ22πcΔt40nm.  

 
II. megoldás. A Heisenberg-féle határozatlansági reláció kevésbé ismert alakja:
ΔEΔth2π,
ahol E egy részecske (jelen esetben egy foton) energiája, Δt pedig az az idő, ameddig megfigyeljük a részecskét (mérjük az energiáját), h pedig a Planck-állandó. Mivel a foton energiája az f frekvenciával E=hf kapcsolatban áll, a foton frekvenciájának bizonytalansága
Δf=12πΔt.

Próbáljuk meg kifejezni a frekvencia bizonytalanságát a hullámhossz bizonytalanságával! Mivel f=c/λ, a differenciálszámítás összefüggései alapján
ΔfΔλ-cλ2,
innen (a bizonytalanság nagysága szempontjából lényegtelen negatív előjelet elhagyva)
ΔλΔfλ2c=λ22πcΔt410-8m.  

 
Megjegyzés. Mindkét megoldás a kvantumelmélet egyik alapösszefüggését, a Heisenberg-féle határozatlansági relációt használta fel. Ez azt sugallhatja, hogy a vizsgált jelenség (a véges ideig tartó fényhullám hullámhosszának bizonytalansága) alapvetően kvantumfizikai természetű. Ez azonban nem igaz! A klasszikus fizika akármelyik hullámformájára, pl. a hanghullámokra, vagy akár a vízhullámokra is érvényes a hullámhossz ,,bizonytalansága'' és a hullámvonulat kiterjedése közötti ΔλΔx1 összefüggés.
Gondoljuk meg, hogyan tudjuk egy véges hosszúságú, de nagyjából egyenletesen hullámzó hullámvonulat hullámhosszát meghatározni! Megszámoljuk, a vonulatban hány hullámhegy található (legyen ez a szám n), és a hullámvonulat hosszát elosztjuk n-nel: λΔxn.
Milyen pontossággal tudjuk így λ-t meghatározni? Ez azon múlik, hogy mennyire pontosan ismerjük n-et. A hullámvonulat széleinél (ahol a hullámok amplitúdója szinte nullává válik) egyre nehezebb megállapítani, hogy látunk-e még hullámhegyeket, n megszámolásánál tehát néhányat, mondjuk ±1-et tévedhetünk. Ebből a hibából adódó hullámhosszbizonytalanságra fennáll:
Δ(1λ)=-Δλλ21ΔxΔn±1Δx.
Innen
Δλλ2Δx=λ2cΔt.
Ez a kifejezés ‐ 2π faktortól eltekintve ‐ megegyezik a határozatlansági relációra alapozott számítás eredményével. Ez az eltérés azonban elfogadható, hiszen mindegyik megfontolást csak nagyságrendi becslésnek szabad tekintenünk. A képletek pontosabbá tételéhez egyértelműen meg kellene mondani, mit is jelent egy mennyiség bizonytalansága, határozatlansága. Ha ezt megtesszük, és a Heisenberg-relációt is ennek megfelelően pontosítjuk, a különböző megfontolások eredménye nem csak nagyságrendileg, hanem számszerűen is egyezni fog.