Kezdőlap


Feladat:	C.869	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Iván Dávid
Füzet:	2007/április, 217 - 218. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gömb és részei, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Egyenes körhengerek, Beírt alakzatok, Térfogat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/október: C.869

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelölje a henger sugarát $r$ , a gömb és a henger közös középpontját $O$ . A henger tengelyén átmenő sík a hengerből egy téglalapot, a gömbből egy főkört metsz ki.
A gömb térfogata: $\frac{4 R^{3} π}{3}$ . A henger térfogata: $r^{2} π m$ , ahol $m = \frac{4}{3} R$ .
A henger alapkörének sugarát az ábrán látható derékszögű háromszögből a Pitagorasz-tétel felhasználásával határozhatjuk meg:

\begin{matrix} r^{2} = R^{2} - {(\frac{2}{3} R)}^{2} = \frac{5}{9} R^{2} . \end{matrix}

A henger térfogatába helyettesítve:

\begin{matrix} V_{h} = \frac{5}{9} R^{2} π \cdot \frac{4}{3} R = \frac{20}{27} R^{3} π . \end{matrix}

A két térfogat aránya:

\begin{matrix} \frac{V_{h}}{V_{g}} = \frac{\frac{20}{27}}{\frac{4}{3}} = \frac{5}{9} . \end{matrix}

A henger térfogata a gömb térfogatának

\frac{5}{9}

-ed része.

Általánosítás. Legyen a henger magassága a gömb sugarának

x

-szerese:

m = R x

(

0 < x < 2

). Ekkor a henger síkmetszetéből

\begin{matrix} R^{2} = \frac{R^{2}}{4} x^{2} + r^{2} . \end{matrix}

Innen

4 r^{2} = R^{2} (4 - x^{2})

\begin{matrix} r^{2} = \frac{R^{2} (4 - x^{2})}{4} . \end{matrix}

A térfogatok aránya:

\begin{matrix} \frac{V_{h}}{V_{g}} = \frac{\frac{1}{4} R^{2} (4 - x^{2}) π R x}{\frac{4 R^{3} π}{3}} = \frac{3}{16} (4 x - x^{3}) . \end{matrix}

y = 4 x - x^{3}

függvényt ábrázoljuk a koordináta-rendszerben. A függvény deriváltja:

\begin{matrix} y' = 4 - 3 x^{2} = 0, ha x = \pm \sqrt[]{\frac{4}{3}} \approx 1, 1547. \end{matrix}

A függvénynek ott lehet szélsőértéke, ahol a deriváltja 0. Valóban,

x = \sqrt[]{\frac{4}{3}} \approx 1, 1547

esetén a függvénynek maximuma van, ami esetünkben azt jelenti, hogy ha a henger magassága a gömb sugarának 1,1547-szerese, akkor a térfogatok maximális aránya közelítőleg 0,577 35.