Feladat: C.869 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Iván Dávid 
Füzet: 2007/április, 217 - 218. oldal  PDF file
Témakör(ök): Gömb és részei, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Egyenes körhengerek, Beírt alakzatok, Térfogat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/október: C.869

Egy R sugarú gömbbe írt henger magassága 43R. Hányadrésze a henger térfogata a gömb térfogatának?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelölje a henger sugarát r, a gömb és a henger közös középpontját O. A henger tengelyén átmenő sík a hengerből egy téglalapot, a gömbből egy főkört metsz ki.
A gömb térfogata: 4R3π3. A henger térfogata: r2πm, ahol m=43R.
A henger alapkörének sugarát az ábrán látható derékszögű háromszögből a Pitagorasz-tétel felhasználásával határozhatjuk meg:

r2=R2-(23R)2=59R2.
A henger térfogatába helyettesítve:
Vh=59R2π43R=2027R3π.
A két térfogat aránya:
VhVg=202743=59.
A henger térfogata a gömb térfogatának 59-ed része.
 
 

Általánosítás. Legyen a henger magassága a gömb sugarának x-szerese: m=Rx (0<x<2). Ekkor a henger síkmetszetéből
R2=R24x2+r2.
Innen 4r2=R2(4-x2),
r2=R2(4-x2)4.
A térfogatok aránya:
VhVg=14R2(4-x2)πRx4R3π3=316(4x-x3).

 
 

Az y=4x-x3 függvényt ábrázoljuk a koordináta-rendszerben. A függvény deriváltja:
y'=4-3x2=0,hax=±431,1547.
A függvénynek ott lehet szélsőértéke, ahol a deriváltja 0. Valóban, x=431,1547 esetén a függvénynek maximuma van, ami esetünkben azt jelenti, hogy ha a henger magassága a gömb sugarának 1,1547-szerese, akkor a térfogatok maximális aránya közelítőleg 0,577 35.