Kezdőlap


Feladat:	B.3927	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bodor Bertalan , Bogár Péter , Csaba Ákos , Csima Géza , Dinh Van Anh , Éles András , Faragó Ákos , Farkas Ádám László , Fonyó Dávid , Kardos Kinga Gabriela , Kornis Kristóf , Kriván Bálint , Lovas Lia Izabella , Márkus Bence , Peregi Tamás , Roósz Gergő , Sárkány Lőrinc , Somogyi Ákos , Szalkai Balázs , Ta Phuong Linh , Wolosz János
Füzet:	2007/április, 225 - 226. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tetraéderek, Térfogat, Vektorok vektoriális szorzata, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/szeptember: B.3927

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A feladatot vektorok vegyes szorzatának segítségével oldjuk meg. Legyenek az $A$ -ból a $B$ , $C$ , $D$ csúcsokba mutató vektorok rendre $b$ , $c$ , és $d$ . Ekkor

\begin{matrix} V_{A B C D} = \frac{1}{6} (b \times c) \cdot d . \end{matrix}

A

csúcsból az

A'

B'

C'

D'

csúcsokba mutató vektorok:

\begin{matrix} \begin{matrix} \vec{A A'} & = 2 b, & \vec{A B'} & = 2 c - b, \\ \vec{A C'} & = 2 d - c, & \vec{A D'} & = - d . \end{matrix} \end{matrix}

Ebből:

\begin{matrix} \vec{D' A'} & = \vec{A A'} - \vec{A D'} = 2 b + d, \\ \vec{D' B'} & = \vec{A B'} - \vec{A D'} = 2 c - b + d, \\ \vec{D' C'} & = \vec{A C}' - \vec{A D'} = 3 d - c . \end{matrix}

Így az új tetraéder térfogata:

\begin{matrix} V_{A' B' C' D'} = \frac{1}{6} (\vec{D' A'} \times \vec{D' C'}) \cdot \vec{D' B'} = \frac{1}{6} [(2 b + d) \times (3 d - c)] \cdot (2 c - b + d) . \end{matrix}

A vegyes szorzat azonosságainak ismeretében, valamint felhasználva, hogy ha három vektor között van két párhuzamos, akkor azok vegyes szorzata 0, elvégezve a műveleteket:

\begin{matrix} V_{A' B' C' D'} = 15 \cdot \frac{1}{6} (b \times c) \cdot d = 15 \cdot V_{A B C D}, \end{matrix}

tehát az új tetraéder térfogata az eredetinek 15-szöröse.