Feladat: B.3927 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bodor Bertalan ,  Bogár Péter ,  Csaba Ákos ,  Csima Géza ,  Dinh Van Anh ,  Éles András ,  Faragó Ákos ,  Farkas Ádám László ,  Fonyó Dávid ,  Kardos Kinga Gabriela ,  Kornis Kristóf ,  Kriván Bálint ,  Lovas Lia Izabella ,  Márkus Bence ,  Peregi Tamás ,  Roósz Gergő ,  Sárkány Lőrinc ,  Somogyi Ákos ,  Szalkai Balázs ,  Ta Phuong Linh ,  Wolosz János 
Füzet: 2007/április, 225 - 226. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tetraéderek, Térfogat, Vektorok vektoriális szorzata, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/szeptember: B.3927

Az ABCD tetraéder A csúcsát tükrözzük B-re, B-t C-re, C-t D-re, és D-t az A-ra. Az így kapott pontok legyenek rendre: A', B', C' és D'. Hányszorosa az A'B'C'D' tetraéder térfogata az eredeti ABCD tetraéder térfogatának?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A feladatot vektorok vegyes szorzatának segítségével oldjuk meg. Legyenek az A-ból a B, C, D csúcsokba mutató vektorok rendre b, c, és d. Ekkor

VABCD=16(b×c)d.
Az A csúcsból az A', B', C', D' csúcsokba mutató vektorok:
AA'=2b,AB'=2c-b,AC'=2d-c,AD'=-d.
Ebből:
D'A'=AA'-AD'=2b+d,D'B'=AB'-AD'=2c-b+d,D'C'=AC'-AD'=3d-c.
Így az új tetraéder térfogata:
VA'B'C'D'=16(D'A'×D'C')D'B'=16[(2b+d)×(3d-c)](2c-b+d).
A vegyes szorzat azonosságainak ismeretében, valamint felhasználva, hogy ha három vektor között van két párhuzamos, akkor azok vegyes szorzata 0, elvégezve a műveleteket:
VA'B'C'D'=1516(b×c)d=15VABCD,
tehát az új tetraéder térfogata az eredetinek 15-szöröse.