Kezdőlap


Feladat:	B.3970	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hursán Zsófia , Müller Márk
Füzet:	2008/május, 283 - 285. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szabályos sokszögek geometriája, Koszinusztétel alkalmazása, Húrnégyszögek, Harmonikus közép, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/január: B.3970

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A szabályos hétszögnek 14 átlója van, ebből 7 db $x$ , 7 db $y$ hosszúságú. A hétszög köré írt körben az $A$ csúcsnál lévő, egyenlő ívekhez tartozó kerületi szögek egyenlőek, jelöljük ezeket $δ$ -val. Írjuk fel a koszinusz-tételt az $A B C$ , az $A C D$ és az $A D E$ háromszögben:

\begin{matrix} 1^{2} & = 1^{2} + x^{2} - 2 x cos δ, & (*) \\ 1^{2} & = x^{2} + y^{2} - 2 x y cos δ, & (*) \\ 1^{2} & = y^{2} + y^{2} - 2 y^{2} cos δ . & (*) \end{matrix}

Az I. egyenletet átrendezve:

2 x cos δ = x^{2}

; mivel

x \neq 0

, így

x = 2 cos δ

. Vonjuk ki a III. egyenletből a II. egyenletet:

\begin{matrix} 0 = y^{2} - x^{2} - 2 y^{2} cos δ + 2 x y cos δ . \end{matrix}

2 cos δ

helyére

x

-et írva és szorzattá alakítva:

\begin{matrix} 0 = y^{2} - x^{2} - x y^{2} + x^{2} y = (y - x) (y + x) - x y (y - x) = (y - x) (y + x - x y) . \end{matrix}

Mivel a szabályos hétszög átlói nem egyenlő hosszúak,

y - x \neq 0

, így

y + x - x y = 0

; átrendezve:

\begin{matrix} \frac{x y}{x + y} = 1. \end{matrix}

A szabályos hétszög átlóinak harmonikus közepe:

\begin{matrix} \frac{14}{\frac{7}{x} + \frac{7}{y}} = \frac{14}{\frac{7 y + 7 x}{x y}} = \frac{14}{\frac{7 (x + y)}{x y}} = \frac{14}{7} \cdot \frac{x y}{x + y} = 2. \end{matrix}

II. megoldás. Jelöljük a szabályos hétszög különböző hosszúságú átlóit

x

-szel és

y

-nal. Ekkor az átlók harmonikus közepe:

\begin{matrix} H = \frac{14}{\frac{7}{x} + \frac{7}{y}} = \frac{14}{\frac{7 y + 7 x}{x y}} = \frac{14}{\frac{7 (x + y)}{x y}} = 2 \cdot \frac{x y}{x + y} . \end{matrix}

Belátjuk, hogy

\frac{x y}{x + y} = 1

, vagyis

x y = x + y

.
Mivel a szabályos hétszög köré kör írható,

A C D E

húrnégyszög. Alkalmazhatjuk rá Ptolemaiosz tételét:

\begin{matrix} A D \cdot C E = A C \cdot D E + A E \cdot D C, \end{matrix}

vagyis

x y = x + y

és így

H = 2