Feladat: B.3970 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Hursán Zsófia ,  Müller Márk 
Füzet: 2008/május, 283 - 285. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szabályos sokszögek geometriája, Koszinusztétel alkalmazása, Húrnégyszögek, Harmonikus közép, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2007/január: B.3970

Bizonyítsuk be, hogy egy egységnyi oldalú szabályos hétszög átlói hosszának harmonikus közepe 2.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A szabályos hétszögnek 14 átlója van, ebből 7 db x, 7 db y hosszúságú. A hétszög köré írt körben az A csúcsnál lévő, egyenlő ívekhez tartozó kerületi szögek egyenlőek, jelöljük ezeket δ-val. Írjuk fel a koszinusz-tételt az ABC, az ACD és az ADE háromszögben:

12=12+x2-2xcosδ,(*)12=x2+y2-2xycosδ,(*)12=y2+y2-2y2cosδ.(*)

 
 

Az I. egyenletet átrendezve: 2xcosδ=x2; mivel x0, így x=2cosδ. Vonjuk ki a III. egyenletből a II. egyenletet:
0=y2-x2-2y2cosδ+2xycosδ.
2cosδ helyére x-et írva és szorzattá alakítva:
0=y2-x2-xy2+x2y=(y-x)(y+x)-xy(y-x)=(y-x)(y+x-xy).
Mivel a szabályos hétszög átlói nem egyenlő hosszúak, y-x0, így y+x-xy=0; átrendezve:
xyx+y=1.

A szabályos hétszög átlóinak harmonikus közepe:
147x+7y=147y+7xxy=147(x+y)xy=147xyx+y=2.

 
II. megoldás. Jelöljük a szabályos hétszög különböző hosszúságú átlóit x-szel és y-nal. Ekkor az átlók harmonikus közepe:
H=147x+7y=147y+7xxy=147(x+y)xy=2xyx+y.
Belátjuk, hogy xyx+y=1, vagyis xy=x+y.
Mivel a szabályos hétszög köré kör írható, ACDE húrnégyszög. Alkalmazhatjuk rá Ptolemaiosz tételét:
ADCE=ACDE+AEDC,
vagyis xy=x+y és így H=2.