Kezdőlap


Feladat:	B.3920	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csató László , Dányi Zsolt , Dombi Soma , Honner Balázs , Károlyi Márton , Kovács 129 Péter , Kunovszki Péter , Mészáros Gábor , Nagy János , Peregi Tamás , Salát Zsófia , Sümegi Károly , Szakács Nóra , Szalóki Dávid , Tomon István , Tossenberger Anna , Udvari Balázs , Varga László
Füzet:	2007/április, 224 - 225. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenletek, Diofantikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/május: B.3920

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Mivel $5^{z}$ $4$ -gyel osztva $1$ maradékot ad, azért $3^{x}$ -nek is 1 a maradéka, azaz $x$ páros: $x = 2 X$ . A $4^{y}$ -nak a $3$ -as maradéka $1$ , így $5^{z}$ -é is, következésképpen $z$ is páros: $z = 2 Z$ . Ennek megfelelően az egyenletet átrendezve, és szorzattá alakítva:

\begin{matrix} 2^{2 y} = 4^{y} = 5^{z} - 3^{x} = 5^{2 Z} - 3^{2 X} = (5^{Z} + 3^{X}) (5^{Z} - 3^{X}) . \end{matrix}

Mivel a szorzat értéke

2^{2 y}

2

-hatvány, azért

5^{Z} + 3^{X}

és

5^{Z} - 3^{X}

2

-hatvány: alkalmas

a > b

nemnegatív egész számokkal

5^{Z} + 3^{X} = 2^{a}

és

5^{Z} - 3^{X} = 2^{b}

. A két egyenletből fejezzük ki

5^{Z}

-t és

3^{X}

-t:

\begin{matrix} 5^{Z} = \frac{2^{a} + 2^{b}}{2} = 2^{a - 1} + 2^{b - 1}, 3^{X} = 2^{a - 1} - 2^{b - 1} . \end{matrix}

5^{Z}

és

3^{X}

egész számok, így

a

és

b

pozitív egészek. Ha

2^{a - 1} - 2^{b - 1} = 2^{b - 1} (2^{a - b} - 1)

3

-hatvány, akkor

2^{b - 1}

is az, ami csak úgy lehetséges, ha

b = 1

. Tehát

3^{X} = 2^{a - 1} - 1

, ezért

2^{a - 1}

hármas maradéka

1

, így

a - 1

páros:

a - 1 = 2 A

. Az előző egyenlet jobb oldalát szorzattá alakítva:

\begin{matrix} 3^{X} = 2^{2 A} - 1 = (2^{A} + 1) (2^{A} - 1), \end{matrix}

ezért

2^{A} + 1

és

2^{A} - 1

olyan

3

-hatványok, amelyek különbsége

2

, azaz

2^{A} + 1 = 3

és

2^{A} - 1 = 1

. A fenti egyenletek alapján ebből

\begin{matrix} A = 1, a = 3, 3^{X} = 3, 5^{Z} = 5, 4^{y} = (5 + 3) (5 - 3) = 16 \end{matrix}

következik, amiből

\begin{matrix} x = 2 X = 2, y = 2, z = 2 Z = 2. \end{matrix}

Mivel

3^{2} + 4^{2} = 5^{2}

valóban teljesül, az egyenlet egyetlen megoldása

x = y = z = 2