Feladat: B.3920 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csató László ,  Dányi Zsolt ,  Dombi Soma ,  Honner Balázs ,  Károlyi Márton ,  Kovács 129 Péter ,  Kunovszki Péter ,  Mészáros Gábor ,  Nagy János ,  Peregi Tamás ,  Salát Zsófia ,  Sümegi Károly ,  Szakács Nóra ,  Szalóki Dávid ,  Tomon István ,  Tossenberger Anna ,  Udvari Balázs ,  Varga László 
Füzet: 2007/április, 224 - 225. oldal  PDF file
Témakör(ök): Exponenciális egyenletek, Diofantikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/május: B.3920

Oldjuk meg a 3x+4y=5z egyenletet a pozitív egész számok halmazán.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Mivel 5z  4-gyel osztva 1 maradékot ad, azért 3x-nek is 1 a maradéka, azaz x páros: x=2X. A 4y-nak a 3-as maradéka 1, így 5z-é is, következésképpen z is páros: z=2Z. Ennek megfelelően az egyenletet átrendezve, és szorzattá alakítva:

22y=4y=5z-3x=52Z-32X=(5Z+3X)(5Z-3X).
Mivel a szorzat értéke 22y, 2-hatvány, azért 5Z+3X és 5Z-3X is 2-hatvány: alkalmas a>b nemnegatív egész számokkal 5Z+3X=2a és 5Z-3X=2b. A két egyenletből fejezzük ki 5Z-t és 3X-t:
5Z=2a+2b2=2a-1+2b-1,3X=2a-1-2b-1.
5Z és 3X egész számok, így a és b pozitív egészek. Ha 2a-1-2b-1=2b-1(2a-b-1) 3-hatvány, akkor 2b-1 is az, ami csak úgy lehetséges, ha b=1. Tehát 3X=2a-1-1, ezért 2a-1 hármas maradéka 1, így a-1 páros: a-1=2A. Az előző egyenlet jobb oldalát szorzattá alakítva:
3X=22A-1=(2A+1)(2A-1),
ezért 2A+1 és 2A-1 olyan 3-hatványok, amelyek különbsége 2, azaz 2A+1=3 és 2A-1=1. A fenti egyenletek alapján ebből
A=1,a=3,3X=3,5Z=5,4y=(5+3)(5-3)=16
következik, amiből
x=2X=2,y=2,z=2Z=2.
Mivel 32+42=52 valóban teljesül, az egyenlet egyetlen megoldása x=y=z=2.