A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Tükrözzük az háromszöget az pontra. Az így kapott háromszögnek az pont szintén a beírható körének középpontja, a beírható köre pedig (mivel az -ra nézve középpontosan szimmetrikus) közös az eredeti háromszögével. Legyenek az eredeti és a tükrözött háromszög oldalainak metszéspontjai: , , , , és az ábra szerint.
A pont az pontnak az -ra való tükörképe, mert az és egyenesek metszéspontja, míg e két egyenes tükörképeinek metszéspontja. Ugyanígy tükörképe az pontra -nek a és -nek az pont. Az és négyszögek a középpontos tükrözés miatt paralelogrammák és érintik a háromszögek közös beírt körét, tehát érintőnégyszögek is, ezért mindkettő rombusz, vagyis átlóik merőlegesek egymásra. Tehát , amiből , vagyis az pont a feladatban szereplő ponttal egyezik meg. Hasonlóan , amiből , vagyis az pont megegyezik a ponttal. A középpontos tükrözés miatt a négyszög téglalap és egyben érintőnégyszög, tehát négyzet, vagyis a és pontoknak a háromszög oldalaira eső merőleges vetületei: és . Ezek egymás tükörképei az pontra, tehát , és nemcsak egy egyenesre esnek, hanem éppen a szakasz felezőpontja. |