Kezdőlap


Feladat:	B.3946	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Korom-Vellás Judit
Füzet:	2008/május, 278. oldal		PDF file
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Ceva-tétel, Háromszögek hasonlósága, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/november: B.3946

A hegyesszögű

A B C

háromszög

C

-ből induló szögfelezője messe a szemközti oldalt az

F

pontban. Az

F

-ből a

B C

, illetve

C A

oldalakra bocsátott merőlegesek talppontjai rendre

P

és

Q

. Legyen

M

A P

és

B Q

egyenesek metszéspontja. Bizonyítsuk be, hogy

A B

és

C M

merőleges egymásra.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha $T$ a $C$ -ből induló magasság talppontja, akkor a feladat állítása azzal ekvivalens, hogy $B Q$ , $A P$ és $C T$ egy pontban metszik egymást. Ceva tételének megfordítása alapján ez pontosan akkor teljesül, ha

\begin{matrix} \frac{A T}{T B} \cdot \frac{B P}{P C} \cdot \frac{C Q}{Q A} = 1. \end{matrix}

A T C

és

A Q F

háromszögek hasonlók, tehát

\frac{A T}{A Q} = \frac{T C}{Q P}

. Ugyanígy a

B P F

és

B T C

háromszögek hasonlóságából:

\frac{B P}{B T} = \frac{P F}{T C}

. Így az egyenlet bal oldala átrendezve:

\begin{matrix} \frac{A T}{A Q} \cdot \frac{B P}{B T} \cdot \frac{C Q}{C P} = \frac{T C}{Q F} \cdot \frac{P F}{T C} \cdot \frac{C Q}{C P} . \end{matrix}

C Q F

és

C P F

derékszögű háromszögek egybevágósága miatt

C Q = C P

és

Q F = P F

, így az utóbbi szorzat értéke valóban 1.