Feladat: B.3946 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Korom-Vellás Judit 
Füzet: 2008/május, 278. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai bizonyítások, Ceva-tétel, Háromszögek hasonlósága, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/november: B.3946

A hegyesszögű ABC háromszög C-ből induló szögfelezője messe a szemközti oldalt az F pontban. Az F-ből a BC, illetve CA oldalakra bocsátott merőlegesek talppontjai rendre P és Q. Legyen M az AP és BQ egyenesek metszéspontja. Bizonyítsuk be, hogy AB és CM merőleges egymásra.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha T a C-ből induló magasság talppontja, akkor a feladat állítása azzal ekvivalens, hogy BQ, AP és CT egy pontban metszik egymást. Ceva tételének megfordítása alapján ez pontosan akkor teljesül, ha

ATTBBPPCCQQA=1.

 
 

Az ATC és AQF háromszögek hasonlók, tehát ATAQ=TCQP. Ugyanígy a BPF és BTC háromszögek hasonlóságából: BPBT=PFTC. Így az egyenlet bal oldala átrendezve:
ATAQBPBTCQCP=TCQFPFTCCQCP.

A CQF és CPF derékszögű háromszögek egybevágósága miatt CQ=CP és QF=PF, így az utóbbi szorzat értéke valóban 1.