A hegyesszögű háromszög -ből induló szögfelezője messe a szemközti oldalt az pontban. Az -ből a , illetve oldalakra bocsátott merőlegesek talppontjai rendre és . Legyen az és egyenesek metszéspontja. Bizonyítsuk be, hogy és merőleges egymásra.
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Ha a -ből induló magasság talppontja, akkor a feladat állítása azzal ekvivalens, hogy , és egy pontban metszik egymást. Ceva tételének megfordítása alapján ez pontosan akkor teljesül, ha
Az és háromszögek hasonlók, tehát . Ugyanígy a és háromszögek hasonlóságából: . Így az egyenlet bal oldala átrendezve: | |
A és derékszögű háromszögek egybevágósága miatt és , így az utóbbi szorzat értéke valóban 1.
|
|