Feladat:	B.3937	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Duba Zsombor
Füzet:	2008/május, 277. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Térfogat, Gömb és részei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/október: B.3937

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Válasszuk a cm-t egységnek. Mivel $8^2+{15}^2={17}^2$, a háromszög derékszögű, területe $t=\frac{8\cdot 15}{2}=60$, kerülete pedig $k=40$. Ezek alapján beírt körének sugara $r=\frac{2t}{k}=3$, ekkora sugarú körben metszi tehát a háromszög $S$ síkja az $R=5$ sugarú gömböt. A Pitagorasz-tétel szerint a gömb középpontja $d=4$ egység távolságra van az $S$ síktól. Az $S$ által levágott gömbszelet magassága tehát $h=R-d=1$, így a gömbszelet térfogata: $\begin{array}{c}{\displaystyle V_1=\frac{h\left(3r^2+h^2\right)\pi }{6}=\frac{28\pi }{6}\mathrm{,}}\end{array}$ míg az egész gömb térfogata: $\begin{array}{c}{\displaystyle V=\frac{4R^3\pi }{3}=\frac{1000\pi }{6}\mathrm{.}}\end{array}$ A keresett arány ezek szerint: $\frac{V_1}{V-V_1}=\frac{28}{972}=0\mathrm{,}03$.