Kezdőlap


Feladat:	B.3918	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Blázsik Zoltán , Véges Márton
Füzet:	2007/május, 287 - 289. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/május: B.3918

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Rendezzük át az egyenletet:

\begin{matrix} cos 4 x + sin 6 x = ctg 5 x + tg 5 x . \end{matrix}

Mivel

ctg 5 x = \frac{1}{tg 5 x}

, a jobb oldal egy számnak és a reciprokának az összege, ezért az abszolút értéke legalább 2. A bal oldal abszolút értéke viszont a

sin x

és a

cos x

függvény értékkészlete (

[- 1; 1]

) miatt legfeljebb 2. Ezek alapján csak akkor lehet egyenlő a két oldal, ha mindkettő

- 2

, vagy ha mindkettő 2.
I. eset: mindkét oldal

- 2

, ekkor

\begin{matrix} - 2 = cos 4 x + sin 6 x = ctg 5 x + tg 5 x . \end{matrix}

Ebben az esetben teljesülnie kell a következőknek:

\begin{matrix} tg 5 x = ctg 5 x & = - 1, & (1) \\ cos 4 x & = - 1, & (2) \\ sin 6 x & = - 1. & (3) \end{matrix}

Ezekből:

\begin{matrix} 5 x & = \frac{3}{4} \cdot π + k \cdot π, & (1') \\ 4 x & = π + l \cdot 2 π, & (2') \\ 6 x & = \frac{3}{2} \cdot π + m \cdot 2 π . & (3') \end{matrix}

(1')

és a

(3')

egyenlet felhasználásával kapjuk, hogy:

\begin{matrix} m = \frac{3}{5} \cdot k - \frac{3}{10} = \frac{6 k - 3}{10} . \end{matrix}

Mivel

m

egész szám,

6 k - 3

osztható 10-zel; ám

6 k - 3

páratlan szám, így biztosan nem osztható 10-zel.
Tehát ebben az esetben nincsen megoldása az egyenletnek.
II. eset: mindkét oldal 2, ekkor

\begin{matrix} 2 = cos 4 x + sin 6 x = ctg 5 x + tg 5 x . \end{matrix}

Ebben az esetben teljesülnie kell, hogy:

\begin{matrix} tg 5 x = ctg 5 x & = 1, & (4) \\ cos 4 x & = 1, & (5) \\ sin 6 x & = 1. & (6) \end{matrix}

Ezekből:

\begin{matrix} 5 x & = \frac{1}{4} \cdot π + k \cdot π, & (4') \\ 4 x & = l \cdot 2 π, & (5') \\ 6 x & = \frac{1}{2} \cdot π + m \cdot 2 π . & (6') \end{matrix}

(4')

és az

(5')

egyenlet felhasználásával:

\begin{matrix} l = \frac{2}{5} \cdot k + \frac{1}{10} = \frac{4 k + 1}{10} . \end{matrix}

Mivel

4 k + 1

páratlan, azért

l

nem lehet egész szám; ebben az esetben sincsen megoldása az egyenletnek.
Tehát az egyenletnek nem létezik megoldása. (Mivel csak a

(- π; π)

intervallumban kerestünk megoldást, így akár egyszerűbben is ugyanerre a következtetésre juthattunk volna, ha megnézzük, hogy az (1) egyenlet ebbe az intervallumba eső megoldásai kielégítik-e a (2) és a (3) egyenletet, illetve a (4) egyenletnek ebbe az intervallumba eső megoldásai kielégítik-e az (5) és a (6) egyenletet.)

II. megoldás. A tangens és kotangens helyére helyettesítsünk szinuszt és koszinuszt, és rendezzük át az egyenletet:

\begin{matrix} cos 4 x + sin 6 x = \frac{cos 5 x}{sin 5 x} + \frac{sin 5 x}{cos 5 x} = \frac{sin^{2} 5 x + cos^{2} 5 x}{sin 5 x \cdot cos 5 x} = \frac{1}{sin 5 x \cdot cos 5 x} . \end{matrix}

Beszorozva:

\begin{matrix} 1 = sin 5 x \cdot cos 5 x (cos 4 x + sin 6 x) = \frac{sin 10 x}{2} (cos 4 x + sin 6 x) . \end{matrix}

Innen:

\begin{matrix} 2 = sin 10 x (cos 4 x + sin 6 x) = sin 10 x cos 4 x + sin 10 x sin 6 x . \end{matrix}

A szögfüggvények szorzatát összeggé alakítva:

\begin{matrix} 2 = \frac{sin 14 x + cos 6 x}{2} + \frac{cos 16 x - cos 4 x}{- 2} . \end{matrix}

Átrendezve az egyenletet:

\begin{matrix} 4 + cos 16 x = sin 14 x + cos 6 x + cos 4 x . \end{matrix}

Látható, hogy a bal oldal lehetséges legkisebb értéke 3, a jobb oldalnak pedig a legnagyobb értéke 3, így az egyenlet mindkét oldala egyenlő 3-mal. Ezért

cos 4 x = 1

, ahonnan

4 x = 2 k π

, ahol

k

egész szám. Innen

2 x = k π

. A feladatban megadott kikötés miatt

- 2 π < 2 x < 2 π

, ebből pedig

- 2 < k < 2

. Tehát

k

lehetséges értékei

- 1

, 0 és 1. A 0 nem megoldás, mivel

sin 14 x = sin 0 = 0 \neq 1

. Az 1 és a

- 1

sem megoldás, mivel mindkettő esetén

cos 6 x = - 1 \neq 1

.
Tehát a fenti egyenletnek nincs megoldása.