Feladat: B.3918 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Blázsik Zoltán ,  Véges Márton 
Füzet: 2007/május, 287 - 289. oldal  PDF file
Témakör(ök): Trigonometrikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/május: B.3918

Keressük meg a
cos4x-tg5x=ctg5x-sin6x
egyenlet (-π;π) intervallumba eső megoldásait.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Rendezzük át az egyenletet:

cos4x+sin6x=ctg5x+tg5x.
Mivel ctg5x=1tg5x, a jobb oldal egy számnak és a reciprokának az összege, ezért az abszolút értéke legalább 2. A bal oldal abszolút értéke viszont a sinx és a cosx függvény értékkészlete ([-1;1]) miatt legfeljebb 2. Ezek alapján csak akkor lehet egyenlő a két oldal, ha mindkettő -2, vagy ha mindkettő 2.
I. eset: mindkét oldal -2, ekkor
-2=cos4x+sin6x=ctg5x+tg5x.
Ebben az esetben teljesülnie kell a következőknek:
tg5x=ctg5x=-1,(1)cos4x=-1,(2)sin6x=-1.(3)
Ezekből:
5x=34π+kπ,(1')4x=π+l2π,(2')6x=32π+m2π.(3')

Az (1') és a (3') egyenlet felhasználásával kapjuk, hogy:
m=35k-310=6k-310.

Mivel m egész szám, 6k-3 osztható 10-zel; ám 6k-3 páratlan szám, így biztosan nem osztható 10-zel.
Tehát ebben az esetben nincsen megoldása az egyenletnek.
II. eset: mindkét oldal 2, ekkor
2=cos4x+sin6x=ctg5x+tg5x.
Ebben az esetben teljesülnie kell, hogy:
tg5x=ctg5x=1,(4)cos4x=1,(5)sin6x=1.(6)
Ezekből:
5x=14π+kπ,(4')4x=l2π,(5')6x=12π+m2π.(6')
A (4') és az (5') egyenlet felhasználásával:
l=25k+110=4k+110.

Mivel 4k+1 páratlan, azért l nem lehet egész szám; ebben az esetben sincsen megoldása az egyenletnek.
Tehát az egyenletnek nem létezik megoldása. (Mivel csak a (-π;π) intervallumban kerestünk megoldást, így akár egyszerűbben is ugyanerre a következtetésre juthattunk volna, ha megnézzük, hogy az (1) egyenlet ebbe az intervallumba eső megoldásai kielégítik-e a (2) és a (3) egyenletet, illetve a (4) egyenletnek ebbe az intervallumba eső megoldásai kielégítik-e az (5) és a (6) egyenletet.)
 
II. megoldás. A tangens és kotangens helyére helyettesítsünk szinuszt és koszinuszt, és rendezzük át az egyenletet:
cos4x+sin6x=cos5xsin5x+sin5xcos5x=sin25x+cos25xsin5xcos5x=1sin5xcos5x.
Beszorozva:
1=sin5xcos5x(cos4x+sin6x)=sin10x2(cos4x+sin6x).
Innen:
2=sin10x(cos4x+sin6x)=sin10xcos4x+sin10xsin6x.
A szögfüggvények szorzatát összeggé alakítva:
2=sin14x+cos6x2+cos16x-cos4x-2.
Átrendezve az egyenletet:
4+cos16x=sin14x+cos6x+cos4x.
Látható, hogy a bal oldal lehetséges legkisebb értéke 3, a jobb oldalnak pedig a legnagyobb értéke 3, így az egyenlet mindkét oldala egyenlő 3-mal. Ezért cos4x=1, ahonnan 4x=2kπ, ahol k egész szám. Innen 2x=kπ. A feladatban megadott kikötés miatt -2π<2x<2π, ebből pedig -2<k<2. Tehát k lehetséges értékei -1, 0 és 1. A 0 nem megoldás, mivel sin14x=sin0=01. Az 1 és a -1 sem megoldás, mivel mindkettő esetén cos6x=-11.
Tehát a fenti egyenletnek nincs megoldása.