Feladat: B.3917 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Blázsik Zoltán ,  Csató László ,  Csorba János ,  Dányi Zsolt ,  Grósz Dániel ,  Honner Balázs ,  Károlyi Gergely ,  Károlyi Márton ,  Kovács 111 Péter ,  Kovács 129 Péter ,  Nagy Dániel ,  Sümegi Károly ,  Szakács Nóra ,  Szalkai Balázs ,  Szalóki Dávid ,  Szirmai Péter ,  Tomon István ,  Varga László 
Füzet: 2007/április, 224. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkbeli ponthalmazok távolsága, Racionális számok és tulajdonságaik, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/május: B.3917

Igazoljuk, hogy egy 1n hosszúságú nyílt intervallum legfeljebb [n+12] darab olyan racionális számot tartalmazhat, amelynek nevezője legfeljebb n.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Minden legfeljebb n nevezőjű racionális számot bővíthetünk alkalmas 2-hatvánnyal úgy, hogy a nevezője n2-nél nagyobb, de továbbra is legfeljebb n legyen. Egy 1n hosszúságú nyílt intervallum nem tartalmazhat két azonos (legfeljebb n) nevezőjű törtet, hiszen ezek különbsége legalább a közös nevező reciproka, következésképpen legalább 1n lenne. Az eddigiek alapján legfeljebb annyi tört eshet az intervallumba, ahány olyan k egész szám létezik, amelyre n2<kn teljesül, ezek száma pedig pontosan [n+12]. Ezzel a feladat állítását igazoltuk.

 
Megjegyzés. Könnyen ellenőrizhető, hogy az (1n+1;1n+1+1n) intervallumba esik 1k minden olyan k egész számra, amelyre n2<kn. Tehát létezik olyan 1n hosszúságú nyílt intervallum, amely [n+12] darab olyan racionális számot tartalmaz, amelynek nevezője legfeljebb n.