Kezdőlap


Feladat:	B.3915	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2007/február, 97. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ceva-tétel, Háromszögek geometriája, Síkgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/május: B.3915, 1994/március: N.25, 1994/március: F.3008

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Tegyük fel, hogy az $A B$ oldalon az $A$ -tól számított $c$ -edik, a $B C$ oldalon a $B$ -től számított $a$ -adik, a $C A$ oldalon pedig a $C$ -től számított $b$ -edik osztópontot kötöttük össze rendre a $C$ , $A$ , illetve $B$ csúccsal, ahol tehát $a$ , $b$ , $c$ a $p$ -nél kisebb pozitív egészek. Ekkor a Ceva-tétel szerint

\begin{matrix} \frac{a}{p - a} \cdot \frac{b}{p - b} \cdot \frac{c}{p - c} = 1, \end{matrix}

vagyis

a b c = (p - a) (p - b) (p - c)

. A jobb oldali zárójelet fölbontva az egyetlen olyan tag, amely nem tartalmazza tényezőként a

p

-t,

- a b c

; ezért (az egyenlőséget

a b c

-re rendezve) kapjuk, hogy

2 a b c

osztható a

p

prímszámmal. Ez csak úgy lehetséges, hogy a szorzat valamelyik tényezője osztható

p

-vel. Az

a

b

c

számok egyike sem lehet ilyen, hiszen a

p

-nél kisebb pozitív egészek; tehát

p

a 2-nek osztója, azaz

p = 2

. Ekkor a három egyenesnek a háromszögbe eső szakaszai a háromszög súlyvonalai, amelyek a súlyponton mennek át.