Kezdőlap


Feladat:	B.3914	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Nagy János
Füzet:	2007/május, 286 - 287. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paralelogrammák, Síkgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/május: B.3914

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelölje $O$ a paralelogramma középpontját. Azt fogjuk bizonyítani, hogy az $M O$ és az $N O$ egyenesek meredeksége megegyezik.
A paralelogrammát négyzetté alakíthatjuk úgy, hogy a szakaszok arányai megmaradjanak; mivel a bizonyítás során csak a szakaszok arányait használjuk, elég az állítást négyzetre bizonyítani. Legyen ennek a négyzetnek az oldala egységnyi. Vezessük be a következő jelöléseket: $D Q = a$ , $A P = b$ , $D T_{1} = x$ , $M T_{1} = y$ . Ekkor a hasonló $A P M$ és $D Q M$ háromszögekre felírhatjuk az alábbi arányosságokat:

\begin{matrix} \frac{x}{b - x} = \frac{y}{1 - y} = \frac{a}{b}, \end{matrix}

amiből

b a - a x = b x

, vagyis

x = \frac{a b}{a + b}

. Hasonlóan

a - a y = b y

, vagyis

y = \frac{a}{a + b}

Innen az

M

pont és az

O

középpont távolságának vízszintes összetevője:

\begin{matrix} \frac{1}{2} - \frac{a b}{a + b} = \frac{a + b - 2 a b}{2 a + 2 b}, \end{matrix}

a függőleges összetevője pedig:

\begin{matrix} \frac{1}{2} - \frac{a}{a + b} = \frac{b - a}{2 a + 2 b} . \end{matrix}

Így az

M O

egyenes meredeksége:

\frac{b - a}{a + b - 2 a b}

. Az

N O

egyenes meredekségének kiszámításakor

b

helyére

(1 - a)

a

helyére

(1 - b)

kerül, tehát az

N O

egyenes meredeksége:

\begin{matrix} \frac{(1 - a) - (1 - b)}{(1 - b) + (1 - a) - 2 (1 - b) (1 - a)} & = \frac{b - a}{2 - a - b - 2 + 2 b + 2 a - 2 a b} = \\ = \frac{b - a}{a + b - 2 a b} . \end{matrix}

A két meredekség megegyezik, tehát az

M N

szakasz valóban átmegy a középponton.