Feladat: B.3914 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Nagy János 
Füzet: 2007/május, 286 - 287. oldal  PDF file
Témakör(ök): Paralelogrammák, Síkgeometriai bizonyítások, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/május: B.3914

Az ABCD paralelogramma AB oldalának tetszőleges pontja P, a CD oldalának tetszőleges pontja pedig Q. Legyen a DP és AQ egyenesek metszéspontja M, a CP és BQ egyenesek metszéspontja pedig N. Mutassuk meg, hogy az MN egyenes átmegy a paralelogramma középpontján.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelölje O a paralelogramma középpontját. Azt fogjuk bizonyítani, hogy az MO és az NO egyenesek meredeksége megegyezik.
A paralelogrammát négyzetté alakíthatjuk úgy, hogy a szakaszok arányai megmaradjanak; mivel a bizonyítás során csak a szakaszok arányait használjuk, elég az állítást négyzetre bizonyítani. Legyen ennek a négyzetnek az oldala egységnyi. Vezessük be a következő jelöléseket: DQ=a, AP=b, DT1=x, MT1=y. Ekkor a hasonló APM és DQM háromszögekre felírhatjuk az alábbi arányosságokat:

xb-x=y1-y=ab,
amiből ba-ax=bx, vagyis x=aba+b. Hasonlóan a-ay=by, vagyis y=aa+b.
 
 

Innen az M pont és az O középpont távolságának vízszintes összetevője:
12-aba+b=a+b-2ab2a+2b,
a függőleges összetevője pedig:
12-aa+b=b-a2a+2b.
Így az MO egyenes meredeksége: b-aa+b-2ab. Az NO egyenes meredekségének kiszámításakor b helyére (1-a), a helyére (1-b) kerül, tehát az NO egyenes meredeksége:
(1-a)-(1-b)(1-b)+(1-a)-2(1-b)(1-a)=b-a2-a-b-2+2b+2a-2ab==b-aa+b-2ab.
A két meredekség megegyezik, tehát az MN szakasz valóban átmegy a középponton.