Kezdőlap


Feladat:	C.859	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Farkas Judit
Füzet:	2007/február, 86 - 87. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, Háromszögek geometriája, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/május: C.859

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az addíciós képletek szerint:

\begin{matrix} sin (γ + 30^{\circ}) = sin γ cos 30^{\circ} + cos γ sin 30^{\circ} = \frac{\sqrt[]{3}}{2} sin γ + \frac{1}{2} cos γ . \end{matrix}

Így

\begin{matrix} c^{2} + 2 a b sin (γ + 30^{\circ}) = c^{2} + 2 a b (\frac{\sqrt[]{3}}{2} sin γ + \frac{1}{2} cos γ) = c^{2} + \sqrt[]{3} a b sin γ + a b cos γ . \end{matrix}

A koszinusz-tétel alapján

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b cos γ

, amiből

a b cos γ = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2}

.
A háromszög területe:

T = \frac{a b sin γ}{2}

, innen

2 T = a b sin γ

; így

\begin{matrix} c^{2} + \sqrt[]{3} a b sin γ + a b cos γ = c^{2} + 2 T \sqrt[]{3} + \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2} = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{2} + 2 T \sqrt[]{3} . \end{matrix}

Ez utóbbi kifejezés szimmetrikus

a

b

c

-ben, ezért ugyanezt kell kapnunk

[b^{2} + 2 a c sin (β + 30^{\circ})]

-ra és

[a^{2} + 2 b c sin (α + 30^{\circ})]

-ra is, amivel az állítást beláttuk.