Kezdőlap


Feladat:	C.857	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Lantos Tamás
Füzet:	2007/február, 86. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Nevezetes azonosságok, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/május: C.857

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyenek az egyenlet gyökei $e$ , $f$ és $g$ ( $e$ , $f$ , $g$ pozitív egészek). Ez azt jelenti, hogy

\begin{matrix} x^{3} - 8 x^{2} + c x + d = (x - e) (x - f) (x - g) . \end{matrix}

Elvégezve a szorzást:

\begin{matrix} (x - e) (x - f) (x - g) = x^{3} - e x^{2} - f x^{2} - g x^{2} + e f x + f g x + e g x - e f g = \\ = x^{3} - (e + f + g) x^{2} + (e f + f g + e g) x - e f g . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} x^{3} - 8 x^{2} + c x + d = x^{3} - (e + f + g) x^{2} + (e f + f g + e g) x - e f g . \end{matrix}

Ebből kapjuk, hogy

\begin{matrix} e + f + g & = 8, & (1) \\ e f + f g + e g & = c, & (2) \\ e f g & = - d . & (3) \end{matrix}

Mindhárom egyenlet szimmetrikus, ezért feltehetjük, hogy

e \geq f \geq g

.
Az (1) egyenlet miatt (figyelembe véve, hogy

e

f

g

pozitív egész és

e \geq f \geq g

) az

e

f

g

és az ezekből kiszámolt

c

és

d

értékei csak a következők lehetnek:

\begin{matrix} \begin{matrix} e & f & g & c & d \\ 1. & 6 & 1 & 1 & 13 & - 6 \\ 2. & 5 & 2 & 1 & 17 & - 10 \\ 3. & 4 & 3 & 1 & 19 & - 12 \\ 4. & 4 & 2 & 2 & 20 & - 16 \\ 5. & 3 & 3 & 2 & 21 & - 18 \end{matrix} \end{matrix}

Tehát a megfelelő

(c; d)

számpárok a következők:

(13; - 6)

(17; - 10)

(19; - 12)

(20; - 16)

(21; - 18)