Feladat: 3830. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Engedy Balázs ,  Máté István Mátyás 
Füzet: 2006/április, 246 - 247. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb kényszermozgás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2005/október: 3830. fizika feladat

Függőleges falon H magasságban rögzített kis motor állandó v0 sebességgel csévél fel egy vékony fonalat. A fonal másik végén kicsiny test található, amely a vízszintes talajon súrlódva csúszik. Milyen messze van a kicsiny test a faltól, amikor felemelkedik a talajról?
Adatok: H=20cm, v0=5cm/s.
 
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Amikor a kicsiny test éppen kezd felemelkedni a talajról, rá a vízszintes talaj nem fejt ki nyomóerőt, és emiatt a súrlódási erő is nulla kell legyen. A testre tehát ebben a pillanatban csak a fonál által kifejtett (fonal irányú és valamekkora K nagyságú) kényszererő, valamint függőlegesen lefelé mg gravitációs erő hat.
Bontsuk fel a test vízszintes irányú sebességét és gyorsulását fonal irányú (radiális) és rá merőleges (tangenciális) komponensekre (lásd az 1. ábrát)!

 

 
1. ábra
 

A radiális sebesség éppen a motor által biztosított v0 kell legyen. Az eredő sebesség és a gyorsulás is vízszintes, tehát
vtvr=tgα,atar=tgα,
továbbá a tangenciális irányú mozgásegyenlet szerint
mat=mgcosα.
Ezekből az összefüggésekből valamennyi sebesség- és gyorsuláskomponens kifejezhető:
vr=v0,vt=v0tgα,at=gcosα,ar=gcosαtgα.

Tudjuk még a radiális (centripetális) gyorsulás és a tangenciális sebesség közötti összefüggést:
ar=vt2r,
ahonnan a korábbi eredmények behelyettesítésével és az
r=Hsinα
geometriai összefüggés kihasználásával
gcosαtgα=(v0tgα)2sinαH,
azaz
tg4α=gHv02.
Eszerint a kis test távolsága a faltól a felemelkedés pillanatában
d=Htgα=H3v02g43,8cm.  

 
II. megoldás. Jelöljük a test és a fal távolságát valamely t időpillanatban x(t)-vel. A fonal hossza
l(t)=l0-v0t
módon változik, ahol l0 a t=0 pillanatban érvényes hossz (2. ábra).
A Pitagorasz-tétel szerint
x(t)=(l0-v0t)2-H2.
Az x(t) függvény második deriváltja (egy előjeltől eltekintve) megadja a test vízszintes irányú gyorsulását. Ebből kiszámíthatjuk a fonálerő vízszintes komponensét, (Kv)-t, majd (a geometriai viszonyok ismeretében) a teljes fonálerőt, illetve annak függőleges összetevőjét, Kf-t. A test nyilvánvalóan abban a t0 pillanatban válik el a talajtól, amikor Kf eléri és kezdi meghaladni az mg gravitációs erőt.
 

 
2. ábra
 

A számolás menete (a technikai részletek elhagyásával):
av=-x¨=H2v02[(l0-v0t)2-H2]3/2,Kv=mx¨,Kf=Hx(t0)Kv=mH3v02[(l0-v0t0)2-H2]2=mH3v02x(t0)4=mg.
Innen a faltól mért távolság a kérdéses pillanatban:
d=x(t0)=H3v02g4.