Kezdőlap


Feladat:	C.851	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Wallner Márton , Wolosz János
Füzet:	2007/február, 84 - 85. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Klasszikus valószínűség, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/április: C.851

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Felhasználjuk a KöMaL-ban kitűzött B. 3858.-as feladat megoldását, amiben a következő képlet szerepel: ha $n$ a dobások száma, f pedig a fejek száma, akkor azon dobássorozatok száma, amelyekben az f fej közül semelyik kettő sincs egymás mellett $(\binom{n - f + 1}{f})$ . (A levezetés a májusi számban jelent meg.)
Esetünkben $n = 12$ ( $n$ -szer dobunk), a fejek száma pedig f, ahol $f = 0,1, ...,6$ .
Ha $f = 0$ , akkor $(\binom{12 - 0 + 1}{0}) = 1$ . Tehát ha 0 fejet dobunk, akkor 1 db megfelelő dobássorozat van.
Ha $f = 1$ , akkor $(\binom{12 - 1 + 1}{1}) = 12$ . Tehát ha 1 fejet dobunk, akkor 12 db megfelelő dobássorozat van. Hasonlóan folytatva a $(\binom{12 - 2 + 1}{2}) = 55$ , $(\binom{12 - 3 + 1}{3}) = 120$ , $(\binom{12 - 4 + 1}{4}) = 126$ , $(\binom{12 - 5 + 1}{5}) = 56$ , $(\binom{12 - 6 + 1}{6}) = 7$ értékekkel, a megfelelő dobássorozatok száma összesen: $1 + 12 + 55 + 120 + 126 + 56 + 7 = 377$ .
(Ha $f > 6$ , akkor nyilván nincs megfelelő dobássorozat.)
Tehát 377 olyan dobássorozat van, amelyben nem követi egymást két fej.

II. megoldás. Az első dobás lehet fej vagy írás (ezentúl f és í). Nézzük a keresett dobássorozatokat. A feltétel alapján f után csak í jöhet, í után pedig f és í is. Tehát az esetek száma í-nél nő.
Az ábrának a 12. sora mutatja meg az esetek számát. Egy sorban annyi í lesz, ahány darab f és í volt az előzőben, hiszen f és í után is dobhatunk í-t. Tehát egy sorban az esetek száma annyival fog nőni az előzőhöz képest, amennyi a kettővel előtti sor elemszáma volt. Ezt hívjuk Fibonacci-sorozatnak, amelynek minden eleme az őt megelőző két elemnek az összege. Ezek után könnyű kiszámolni, hány lehetőség lesz a 12. sorban: annyi, ami a 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 sorozat 12. tagja, azaz 377.

Tehát 377 olyan dobássorozat van, amelyben nem követi egymást két fej.