Feladat: C.851 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Wallner Márton ,  Wolosz János 
Füzet: 2007/február, 84 - 85. oldal  PDF file
Témakör(ök): Klasszikus valószínűség, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/április: C.851

Egy szabályos pénzérmét 12-szer feldobunk egymás után és leírjuk a dobások eredményét. Hány olyan dobássorozat van, amelyben két fej nem követi egymást?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Felhasználjuk a KöMaL-ban kitűzött B. 3858.-as feladat megoldását, amiben a következő képlet szerepel: ha n a dobások száma, f pedig a fejek száma, akkor azon dobássorozatok száma, amelyekben az f fej közül semelyik kettő sincs egymás mellett (n-f+1f). (A levezetés a májusi számban jelent meg.)
Esetünkben n=12 (n-szer dobunk), a fejek száma pedig f, ahol f=0,1,...,6.
Ha f=0, akkor (12-0+10)=1. Tehát ha 0 fejet dobunk, akkor 1 db megfelelő dobássorozat van.
Ha f=1, akkor (12-1+11)=12. Tehát ha 1 fejet dobunk, akkor 12 db megfelelő dobássorozat van. Hasonlóan folytatva a (12-2+12)=55, (12-3+13)=120, (12-4+14)=126, (12-5+15)=56, (12-6+16)=7 értékekkel, a megfelelő dobássorozatok száma összesen: 1+12+55+120+126+56+7=377.
(Ha f>6, akkor nyilván nincs megfelelő dobássorozat.)
Tehát 377 olyan dobássorozat van, amelyben nem követi egymást két fej.

 
II. megoldás. Az első dobás lehet fej vagy írás (ezentúl f és í). Nézzük a keresett dobássorozatokat. A feltétel alapján f után csak í jöhet, í után pedig f és í is. Tehát az esetek száma í-nél nő.
Az ábrának a 12. sora mutatja meg az esetek számát. Egy sorban annyi í lesz, ahány darab f és í volt az előzőben, hiszen f és í után is dobhatunk í-t. Tehát egy sorban az esetek száma annyival fog nőni az előzőhöz képest, amennyi a kettővel előtti sor elemszáma volt. Ezt hívjuk Fibonacci-sorozatnak, amelynek minden eleme az őt megelőző két elemnek az összege. Ezek után könnyű kiszámolni, hány lehetőség lesz a 12. sorban: annyi, ami a 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 sorozat 12. tagja, azaz 377.
 
 

Tehát 377 olyan dobássorozat van, amelyben nem követi egymást két fej.