Feladat: 4012. fizika feladat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Lénárt Tamás 
Füzet: 2008/április, 241 - 242. oldal  PDF file
Témakör(ök): Gömbtükör, Síktükör, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2007/október: 4012. fizika feladat

Egy homorú gömbtükör optikai tengelyére merőlegesen, tőle 25cm távolságra helyezünk el egy síktükröt. Hová kell elhelyeznünk egy gyertyát, ha azt szeretnénk elérni, hogy a gyertya lángjának az egyes tükrök által alkotott képe ugyanolyan messze legyen a tárgytól? A gömbtükör sugara 40cm.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Feltételezzük, hogy a két tükör egymás felé fordul, és a gyertya a két tükör között helyezkedik el. A gömbtükör fókusztávolsága a görbületi sugarának fele, vagyis f=20 cm. Jelöljük a tükrök távolságát d-vel, a gyertya és a gömbtükör távolságát pedig az ábrán látható módon t-vel.

 
 

A gyertya (a tárgy) és a síktükör távolsága d-t, a síktükör által alkotott kép és a tárgy távolsága tehát 2(d-t).
A homorú tükör által alkotott kép k képtávolsága az
1t+1k=1f
leképezési törvény szerint
k=tft-f,
a tárgy és a kép távolsága tehát |t-k|.
Ha t>k, akkor a gyertya és a homorú tükör által alkotott kép távolsága t-k, s ez akkor egyezik meg a gyertya és a síktükör által alkotott kép távolságával, ha
t-tft-f=2(d-t),azaz3t2-2(2f+d)t+2df=0.
Ennek a másodfokú egyenletnek ‐ az adatok behelyettesítése után kiszámítható ‐ megoldásai t1=10 cm és t2=3313 cm. Ezek közül csak t1 fogadható el, hiszen a másik ,,megoldásnál'' a gyertya nem a két tükör között helyezkedne el. A ,,jó'' megoldáshoz tartozó nevezetes sugármeneteket az ábrán is feltüntettük.
Meg kell vizsgálnunk még a t<k esetet, ilyenkor a
tft-f-t=2(d-t)
egyenletnek kellene teljesülnie. Ennek a ‐ másodfokúvá alakítható ‐ egyenletnek azonban nincs valós megoldása, tehát ez az eset a feladat szempontjából érdektelen.