Kezdőlap


Feladat:	B.4031	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ágoston Tamás , Éles András , Keresztfalvi Tibor , Kiss Réka , Kovács Gergely , Márkus Bence , Szőke Nóra , Tossenberger Anna , Tóth László Márton , Varga László , Weisz Ágoston , Zieger Milán
Füzet:	2008/április, 224 - 225. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb fokú egyenletek, Prímtényezős felbontás, Egész együtthatós polinomok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/október: B.4031

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az egyenlet ekvivalens az

\begin{matrix} x^{n} + \frac{n!}{(n - 1)!} x^{n - 1} + ... + \frac{n!}{1!} x + n! = 0 \end{matrix}

egyenlettel. A bal oldalon egy olyan egész együtthatós polinom áll, amelynek főegyütthatója 1, a többi együttható pedig

n

-nel osztható, hiszen

x^{k}

együtthatója

\frac{n!}{k!}

. A főegyüttható 1, ezért ha

x

az egyenlet racionális megoldása, akkor szükségképpen egész szám. Ha

x

egész megoldása az egyenletnek, akkor

n ∣ x^{n}

. Mivel

n > 1

, így az

n

számnak létezik

p

prímosztója, amelyre az előzőek szerint

p ∣ x^{n}

, és ezért

p ∣ x

, vagyis a

p

prímszám az

x

kanonikus alakjában

α \geq 1

kitevővel szerepel. Jelölje

β_{k}

p

prímszám kitevőjét

k!

prímtényezős felbontásában. A Legendre-formula szerint

\begin{matrix} β_{k} = [\frac{k}{p}] + [\frac{k}{p^{2}}] + [\frac{k}{p^{3}}] + ..., \end{matrix}

valamint ha

k \geq 1

, akkor

\begin{matrix} β_{k} = \sum_{i = 1}^{\infty} [\frac{k}{p^{i}}] < \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{k}{p^{i}} \leq \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{k}{2^{i}} = k . \end{matrix}

Az eddigieket használva, a

p

prímszám kitevője az

\frac{n!}{k!} x^{k}

tagban

β_{n} - β_{k} + k α \geq β_{n} - β_{k} + k > β_{n}

, ha

1 \leq k \leq n

. Tehát a fenti egyenlet átrendezésével kapott

\begin{matrix} x^{n} + \frac{n!}{(n - 1)!} x^{n - 1} + ... + \frac{n!}{1!} x = - n! \end{matrix}

egyenlet bal oldalán minden tag, és így az összegük is a

p

prímszám

β_{n}

-nél magasabb kitevős hatványával osztható, míg a jobb oldalon álló kifejezés kanonikus alakjában

p

kitevője pontosan

β_{n}

.
Ez az ellentmondás mutatja, hogy az egyenletnek nem lehet racionális megoldása.