|
Feladat: |
B.4031 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Ágoston Tamás , Éles András , Keresztfalvi Tibor , Kiss Réka , Kovács Gergely , Márkus Bence , Szőke Nóra , Tossenberger Anna , Tóth László Márton , Varga László , Weisz Ágoston , Zieger Milán |
Füzet: |
2008/április,
224 - 225. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Magasabb fokú egyenletek, Prímtényezős felbontás, Egész együtthatós polinomok, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2007/október: B.4031 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Az egyenlet ekvivalens az | | egyenlettel. A bal oldalon egy olyan egész együtthatós polinom áll, amelynek főegyütthatója 1, a többi együttható pedig -nel osztható, hiszen együtthatója . A főegyüttható 1, ezért ha az egyenlet racionális megoldása, akkor szükségképpen egész szám. Ha egész megoldása az egyenletnek, akkor . Mivel , így az számnak létezik prímosztója, amelyre az előzőek szerint , és ezért , vagyis a prímszám az kanonikus alakjában kitevővel szerepel. Jelölje a prímszám kitevőjét prímtényezős felbontásában. A Legendre-formula szerint valamint ha , akkor | | Az eddigieket használva, a prímszám kitevője az tagban , ha . Tehát a fenti egyenlet átrendezésével kapott | | egyenlet bal oldalán minden tag, és így az összegük is a prímszám -nél magasabb kitevős hatványával osztható, míg a jobb oldalon álló kifejezés kanonikus alakjában kitevője pontosan . Ez az ellentmondás mutatja, hogy az egyenletnek nem lehet racionális megoldása.
|
|