Feladat: B.4031 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ágoston Tamás ,  Éles András ,  Keresztfalvi Tibor ,  Kiss Réka ,  Kovács Gergely ,  Márkus Bence ,  Szőke Nóra ,  Tossenberger Anna ,  Tóth László Márton ,  Varga László ,  Weisz Ágoston ,  Zieger Milán 
Füzet: 2008/április, 224 - 225. oldal  PDF file
Témakör(ök): Magasabb fokú egyenletek, Prímtényezős felbontás, Egész együtthatós polinomok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2007/október: B.4031

Legyen n>1 egész szám. Bizonyítsuk be, hogy az
xnn!+xn-1(n-1)!+...+x1!+1=0
egyenletnek nincs racionális megoldása.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az egyenlet ekvivalens az

xn+n!(n-1)!xn-1+...+n!1!x+n!=0
egyenlettel. A bal oldalon egy olyan egész együtthatós polinom áll, amelynek főegyütthatója 1, a többi együttható pedig n-nel osztható, hiszen xk együtthatója n!k!. A főegyüttható 1, ezért ha x az egyenlet racionális megoldása, akkor szükségképpen egész szám. Ha x egész megoldása az egyenletnek, akkor nxn. Mivel n>1, így az n számnak létezik p prímosztója, amelyre az előzőek szerint pxn, és ezért px, vagyis a p prímszám az x kanonikus alakjában α1 kitevővel szerepel. Jelölje βk a p prímszám kitevőjét k! prímtényezős felbontásában. A Legendre-formula szerint
βk=[kp]+[kp2]+[kp3]+...,
valamint ha k1, akkor
βk=i=1[kpi]<i=1kpii=1k2i=k.
Az eddigieket használva, a p prímszám kitevője az n!k!xk tagban βn-βk+kαβn-βk+k>βn, ha 1kn. Tehát a fenti egyenlet átrendezésével kapott
xn+n!(n-1)!xn-1+...+n!1!x=-n!
egyenlet bal oldalán minden tag, és így az összegük is a p prímszám βn-nél magasabb kitevős hatványával osztható, míg a jobb oldalon álló kifejezés kanonikus alakjában p kitevője pontosan βn.
Ez az ellentmondás mutatja, hogy az egyenletnek nem lehet racionális megoldása.