Feladat:	C.904	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szikszay László
Füzet:	2008/március, 141 - 142. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Trigonometriai azonosságok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/május: C.904

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     Megoldás. Vegyük fel az $ABC$ háromszöget úgy, hogy $CAB\sphericalangle =\alpha$, $CBA\sphericalangle =\beta$. Húzzuk meg a háromszög $C$ csúcsából induló $m$ magasság vonalát, talppontja az $AB$ oldal egyenesén $D$. Az $AD=a$ és $BD=b$ jelölés mellett $\begin{array}{c}{\displaystyle AC=\sqrt[]{a^2+m^2}\mathrm{,}BC=\sqrt[]{b^2+m^2}\mathrm{.}}\end{array}$ A derékszögű háromszögekből $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{tg}\alpha =\frac{m}{a}\text{és}\text{tg}\beta =\frac{m}{b}\mathrm{.}}\end{array}$ A (2) egyenlet szerint $\frac{m}{b}=3\cdot \frac{m}{a}$, és innen $a=3b$. Továbbá ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \text{sin}\alpha =\frac{m}{\sqrt[]{a^2+m^2}}\mathrm{,}\text{sin}\beta =\frac{m}{\sqrt[]{b^2+m^2}}\mathrm{,}\text{cos}\alpha =\frac{a}{\sqrt[]{a^2+m^2}}\mathrm{,}\text{cos}\beta =\frac{b}{\sqrt[]{b^2+m^2}}\mathrm{.}}\end{array}}$ A kétszeres szögekre ismert azonosság felhasználásával (1) átalakítható a következőképpen: $2\text{sin}\beta \text{cos}\beta =3\text{sin}\alpha \text{cos}\alpha$. Írjuk be $\text{sin}\alpha$, $\text{cos}\alpha$, $\text{sin}\beta$, $\text{cos}\beta$ előbb kapott értékeit: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\cdot \frac{m}{\sqrt[]{m^2+b^2}}\cdot \frac{b}{\sqrt[]{m^2+b^2}}=3\cdot \frac{m}{\sqrt[]{m^2+a^2}}\cdot \frac{a}{\sqrt[]{m^2+a^2}}\mathrm{.}}\end{array}$ Egyszerűsítsünk $m\ne 0$-val. Végezzük el a nevezőben a kijelölt műveleteket, és írjuk $a$ helyébe az előbb kapott $3b$-t: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{2b}{m^2+b^2}=\frac{9b}{m^2+9b^2}\mathrm{.}}\end{array}$ Hozzunk közös nevezőre és rendezzük az egyenletet. Az eredmény: $\begin{array}{c}{\displaystyle 7m^2=9b^2\mathrm{,}\text{ahonnan}m=\frac{3\sqrt[]{7}}{7}b\mathrm{.}}\end{array}$ Tehát ${\displaystyle \begin{array}{cccc}\hfill {\displaystyle \text{tg}\alpha }& {\displaystyle =\frac{m}{a}=\frac{3\sqrt[]{7}b}{7\cdot 3b}=\frac{\sqrt[]{7}}{7}\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle \text{innen}\alpha }\hfill & \hfill {\displaystyle \approx 20\mathrm{,}{70}^{\circ }\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle \text{és}\text{tg}\beta }& {\displaystyle =\frac{m}{b}=\frac{3\sqrt[]{7}}{7}\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle \text{innen}\beta }\hfill & \hfill {\displaystyle \approx 48\mathrm{,}{59}^{\circ }\mathrm{.}}\end{array}}$