Feladat: C.904 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Szikszay László 
Füzet: 2008/március, 141 - 142. oldal  PDF file
Témakör(ök): Trigonometrikus egyenletek, Trigonometriai azonosságok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2007/május: C.904

Mekkorák az α és β hegyesszögek, ha igaz rájuk a következő egyenletrendszer?
2sin2β=3sin2α,tgβ=3tgα.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
 

Megoldás. Vegyük fel az ABC háromszöget úgy, hogy CAB=α, CBA=β. Húzzuk meg a háromszög C csúcsából induló m magasság vonalát, talppontja az AB oldal egyenesén D. Az AD=a és BD=b jelölés mellett
AC=a2+m2,BC=b2+m2.
A derékszögű háromszögekből
tgα=maéstgβ=mb.
A (2) egyenlet szerint mb=3ma, és innen a=3b. Továbbá
sinα=ma2+m2,sinβ=mb2+m2,cosα=aa2+m2,cosβ=bb2+m2.
A kétszeres szögekre ismert azonosság felhasználásával (1) átalakítható a következőképpen: 2sinβcosβ=3sinαcosα. Írjuk be sinα, cosα, sinβ, cosβ előbb kapott értékeit:
2mm2+b2bm2+b2=3mm2+a2am2+a2.
Egyszerűsítsünk m0-val. Végezzük el a nevezőben a kijelölt műveleteket, és írjuk a helyébe az előbb kapott 3b-t:
2bm2+b2=9bm2+9b2.
Hozzunk közös nevezőre és rendezzük az egyenletet. Az eredmény:
7m2=9b2,ahonnanm=377b.
Tehát
tgα=ma=37b73b=77,innenα20,70,éstgβ=mb=377,innenβ48,59.