Feladat: 2003. évi Eötvös fizikaverseny 2. feladata Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 2004/március, 171 - 174. oldal  PDF file
Témakör(ök): Hosszú egyenes vezető mágneses tere, Eötvös Loránd (korábban Károly Irén)
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2004/március: 2003. évi Eötvös fizikaverseny 2. feladata

Két párhuzamos, egymástól d távolságra haladó, végtelen hosszú, vékony egyenes vezetőben egyenlő nagyságú és ellentétes irányú áramok folynak. Az indukcióvonalak a vezetőkre merőleges síkokban helyezkednek el. Válasszon ki az egyik síkban egy tetszőleges P pontot és vizsgálja meg, hogy az ezen áthaladó indukcióvonal kör alakú-e!

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás.3. ábra a két párhuzamos vezető által létesített mágneses tér néhány indukcióvonalát szemlélteti, amikor a vezetőkön egyenlő nagyságú, de ellentétes irányú áramok haladnak át.

 
 

3. ábra
 

A speciális árameloszlás miatt a létrejövő mágneses mező nagymérvű szimmetriát mutat: az egyik és másik áramvezetőt körülölelő indukcióvonalak nemcsak egymás tükörképei, de akármelyik zárt görbe, amely mentén egy indukcióvonal halad, szimmetrikus a két áramvezetőn átfektetett síkra is. Ettől persze még lehetnek ellipszisek, körök vagy magasabb rendű zárt görbék is az indukcióvonalak, de ha van köztük kör, akkor annak a középpontja benne kell legyen az áramvezetőkön átfektetett síkban.
Vegyünk fel a kiválasztott síkban egy (x;y) koordináta-rendszert úgy, hogy az egyik áram az origón, a másik pedig a (d;0) ponton döfje át a síkot. A síkban kiválasztott P(x;y) ponton átmenő körök közül tehát csak azok jöhetnek szóba indukcióvonalként, amelyek középpontja rajta van az x tengelyen. Egy ilyen kör középpontja legyen az (x0;0) pont. A kör egyenlete ekkor
(x-x0)2+y2=R2,
ahol R d-től és x0-tól függő mennyiség.
 
 

4. ábra
 

 
 

5. ábra
 

Ha ez a kör indukcióvonal, akkor az indukcióvektor állása a kör bármely pontjában megegyezik az ottani érintő állásával (4. ábra). A P(x;y) ponton átmenő érintő iránytangense:
tgφ=-1tgφ0=-1yx-x0=-x-x0y.
Ezt kell majd összevetnünk a P pontbeli indukcióvektoron átfektetett egyenes iránytangensével. Az eredő B iránytangense (5. ábra):
tgφB=ByBx=B1y+B2yB1x+B2x.
Határozzuk meg ezt a mennyiséget! Egyetlen egyenes vezető által keltett indukcióvektor nagysága:
B=μ0I2π1r.
Ennek és az 5. ábráról leolvasható geometriai összefüggéseknek a felhasználásával az egyes összetevők:
B1y=B1cosα=μ0I2πcosαr1=μ0I2πxr12,B2y=-B2cosβ=-μ0I2πcosβr2=μ0I2π(d-x)r22,B1x=-B1sinα=-μ0I2πsinαr1=-μ0I2πyr12,B2x=B2sinβ=μ0I2πsinβr2=μ0I2πyr22.
Helyettesítsük be ezeket a kifejezéseket a tgφB-re felírt összefüggésbe! Egyszerűsítés után:
tgφB=xr12+d-xr22-yr12+yr22=x(1r12-1r22)+dr22-y(1r12-1r22)=-x-d1-(r2/r1)2y.
Ez a kifejezés akkor és csak akkor egyenlő a korábban kapott
tgφ=-x-x0y
képlettel, ha
x0=d1-(r2/r1)2.
Behelyettesítve az r2=y2+(x-d)2 és r1=y2+x2 kifejezéseket, rendezés után a következőt kapjuk: (x-x0)2+y2=x0(x0-d). Ez pedig pontosan a megadott P ponton is átmenő, (x0;0) középpontú kör egyenlete, vagyis ez az indukcióvonal kör alakú! Megkaptuk a kör sugarát is:
R=x0(x0-d).

Íme, ebben a mágneses mezőben minden indukcióvonal kör alakú, hiszen P a tér tetszőleges pontja lehet. Egy ponton csak egyetlen indukcióvonal mehet át, az pedig kör alakú.
 
Megjegyzések. 1. A síkban azoknak a pontoknak a mértani helye, melyek két adott ponttól vett távolságainak aránya állandó, az ún. Apollóniosz-kör. Eredményeinket úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a vizsgált mágneses térben az indukcióvonalak Apollóniosz-körök.
Bevezetve az r2/r1=λ jelölést, e körök egyenlete
(x-d1-λ2)2+y2=(λd1-λ2)2,
amiből többek között az R=λx0 érdekes összefüggés is leolvasható. (Apollóniosz időszámításunk kezdete előtt 262-től 190-ig élt; a kúpszeletekről írt munkájában ő vezette be az ellipszis, parabola és hiperbola kifejezéseket.)
2. Ha csak kicsit is általánosabb esetet vizsgálunk, a számolás meglehetősen elbonyolódik, és soha többé nem kapunk kör alakú indukcióvonalakat. Érdemes lenne számítógépes szimulációval meghatározni az ellentétes irányú, de nem egyenlő nagyságú áramok keltette mágnestér indukcióvonalait, hiszen erre rd esetén (az egyik áram közvetlen közelében) ugyanúgy, mint rd esetén (ahonnan a két áram már egyetlen |I1-I2| nagyságú áramnak látszik) az indukcióvonalak egyre jobban hasonlítanak a körhöz. De milyen furcsa görbék jöhetnek ki közben?