Kezdőlap


Feladat:	B.3911	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Blázsik Zoltán , Bogár Péter , Csaba Ákos , Cseh Ágnes , Grósz Dániel , Honner Balázs , Horváth Vanda , Károlyi Márton , Kovács 129 Péter , Kunovszki Péter , Kutas Péter , Nagy Dániel , Pálovics Róbert , Peregi Tamás , Sümegi Károly , Szabó Tamás , Szakács Nóra , Szalóki Dávid , Szilágyi Csaba , Szőke Nóra , Szűcs Gergely , Tomon István , Tossenberger Anna , Tóth Balázs , Tóthmérész Lilla , Udvari Balázs
Füzet:	2007/szeptember, 334 - 335. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Ellipszis, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/április: B.3911

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Olyan ellipszist keresünk, amelynek fókuszai $O$ és $M$ , és amely érinti a háromszög oldalait, így érinti az $A C$ oldalt is. Az ellipszis és az $A C$ oldal érintési pontja az az $E$ pont, amelyre $M E + E O$ minimális. Ezt a pontot úgy lehet meghatározni, hogy az $M$ pontot tükrözzük $A C$ -re, az így kapott pontot jelölje $M_{B}$ . A tükrözés miatt az $A C$ egyenes az $M M_{B}$ szakasz felező merőlegese lett, vagyis minden pontja egyenlő távol van $M$ -től és $M_{B}$ -től. Tehát az $A C$ oldal tetszőleges $E$ pontjára $M E + E O = M_{B} E + E O$ . Ez akkor minimális, ha $M_{B}$ , $E$ és $O$ egy egyenesre esnek. Tehát a megfelelő $E$ pontot $M_{B} O$ és $A C$ metszéspontjaként kapjuk.

Ismert, hogy tetszőleges hegyesszögű háromszög magasságpontját tükrözve a háromszög oldalaira, a körülírt kör egy-egy pontját kapjuk. Ezért

M E + E O = M_{B} E + E O = r

, vagyis az így kapott ellipszis két fókusza

M

és

O

, nagytengelye

2 a = r

.
Hasonló módon meghatározhatjuk a másik két oldalt érintő,

M

és

O

fókuszú ellipszist. Mindkét esetben a nagytengely a fent kapott

2 a = r

érték lesz.
A három ellipszis így megegyezik, a háromszögbe valóban írható megfelelő ellipszis.