Feladat: B.3911 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Blázsik Zoltán ,  Bogár Péter ,  Csaba Ákos ,  Cseh Ágnes ,  Grósz Dániel ,  Honner Balázs ,  Horváth Vanda ,  Károlyi Márton ,  Kovács 129 Péter ,  Kunovszki Péter ,  Kutas Péter ,  Nagy Dániel ,  Pálovics Róbert ,  Peregi Tamás ,  Sümegi Károly ,  Szabó Tamás ,  Szakács Nóra ,  Szalóki Dávid ,  Szilágyi Csaba ,  Szőke Nóra ,  Szűcs Gergely ,  Tomon István ,  Tossenberger Anna ,  Tóth Balázs ,  Tóthmérész Lilla ,  Udvari Balázs 
Füzet: 2007/szeptember, 334 - 335. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai bizonyítások, Ellipszis, mint kúpszelet, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/április: B.3911

Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges hegyesszögű háromszögbe mindig írható olyan ellipszis, aminek egyik fókusza a háromszög magasságpontja, másik fókusza a körülírt körének középpontja.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Olyan ellipszist keresünk, amelynek fókuszai O és M, és amely érinti a háromszög oldalait, így érinti az AC oldalt is. Az ellipszis és az AC oldal érintési pontja az az E pont, amelyre ME+EO minimális. Ezt a pontot úgy lehet meghatározni, hogy az M pontot tükrözzük AC-re, az így kapott pontot jelölje MB. A tükrözés miatt az AC egyenes az MMB szakasz felező merőlegese lett, vagyis minden pontja egyenlő távol van M-től és MB-től. Tehát az AC oldal tetszőleges E pontjára ME+EO=MBE+EO. Ez akkor minimális, ha MB, E és O egy egyenesre esnek. Tehát a megfelelő E pontot MBO és AC metszéspontjaként kapjuk.

 
 

Ismert, hogy tetszőleges hegyesszögű háromszög magasságpontját tükrözve a háromszög oldalaira, a körülírt kör egy-egy pontját kapjuk. Ezért ME+EO=MBE+EO=r, vagyis az így kapott ellipszis két fókusza M és O, nagytengelye 2a=r.
Hasonló módon meghatározhatjuk a másik két oldalt érintő, M és O fókuszú ellipszist. Mindkét esetben a nagytengely a fent kapott 2a=r érték lesz.
A három ellipszis így megegyezik, a háromszögbe valóban írható megfelelő ellipszis.