Feladat: 3990. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Almási Gábor ,  Balogh Máté ,  Berta Katalin ,  Blázsik Zoltán ,  Danka Miklós András ,  Fialowski Melinda ,  Földes Imre ,  Hlatky Dávid ,  Kispéter Tamás ,  Márkus Bence Gábor ,  Pálovics Róbert ,  Rárósi Dávid ,  Roósz Gergõ ,  Szûcs Gergely ,  Szolnoki Lénárd ,  Tolner Ferenc ,  Tüzes Dániel 
Füzet: 2008/február, 113 - 114. oldal  PDF file
Témakör(ök): Newton-féle gravitációs erő, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2007/május: 3990. fizika feladat

Két homogén testet a tömegközéppontjaikat összekötő egyenes mentén közelítve egymáshoz általában nő a két test közötti gravitációs vonzóerő. Mindig így van ez? Keressünk ellenpéldákat!

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Előfordulhat olyan eset, amikor homogén testek tömegközéppontjainak távolságát csökkentve csökken a közöttük ható gravitációs erő. Két példát is mutatunk erre.
1. Képzeljünk el egy nagyméretű, homogén tömegeloszlású ,,bolygót'', amelyben egy nagyon keskeny furat található a felszíntől a középpontjáig. Helyezzünk a furatba egy kicsiny, pontszerűnek tekinthető testet! Ismert, hogy egy egyenletes tömegeloszlású gömbhéj a belsejében levő testre nem fejt ki gravitációs erőt. Emiatt a bolygó középpontja felé haladva csak a ,,belül levő'' tömeget kell számításba vennünk az eredő vonzóerő kiszámításánál. Ez a tömeg a középponttól mért távolság köbével arányos, a vonzóereje pedig a középponttól mért távolsággal arányos. Ezek szerint a bolygó belsejében a tömegközéppontjához közeledve egyre kisebb lesz a gravitációs erő.
2. Van olyan eset is, amikor két kiterjedt test között a tömegközéppontjaikat eltávolítani akaró ,,gravitációs taszítóerő'' lép fel, és ennek az erőnek a nagysága annál kisebb, minél közelebb van egymáshoz a két test tömegközéppontja.
Gondolatkísérletünkben két test, A és B szerepel. Az A test két, egyenként M tömegű homogén gömbből, és az őket összekötő vékony pálcából áll. A rúd sűrűsége ugyanakkora, mint a gömböké, így az egész test homogén tömegeloszlásúnak tekinthető. (A gömbök 2d távolsága sokkal nagyobb a sugaruknál.) A másik, B jelű test egy m tömegű gömb, amelyet teljesen átfúrtunk az egyik átmérője mentén. A furat vékony, éppen csak akkora, hogy a B test ráférjen az A test rúdjára.
Az A test tömegközéppontja nyilván a két gömb között van, félúton. Ha ettől a ponttól x távolságra van a rúdra ráfűzött B test, akkor a testek közötti erő:

F=γmM(d-x)2-γmM(d+x)2=γ4mMd(d2-x2)2x.
Ez az erő annál nagyobb, minél nagyobb az x távolság, tehát minél messzebb van a két tömegközéppont egymástól.