Kezdőlap


Feladat:	C.900	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Zádeczki Júlia
Füzet:	2008/január, 23 - 24. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tizes alapú számrendszer, Elsőfokú diofantikus egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/május: C.900

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Két eset van:
I. eset: Lehet, hogy $\frac{3}{4} \cdot \bar{a b c} = \bar{b c a}$ , ekkor

\begin{matrix} \frac{3}{4} (100 a + 10 b + c) = 100 b + 10 c + a, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 300 a + 30 b + 3 c & = 400 b + 40 c + 4 a, \\ 296 a & = 37 c + 370 b, \\ 8 a & = c + 10 b . \end{matrix}

Azaz

8 a = \bar{b c}

, ami egy 8-cal osztható, legfeljebb kétjegyű szám.

\begin{matrix} a & b & c & Eredeti szám & Új szám \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 8 & 108 & 081 \\ 2 & 1 & 6 & 216 & 162 \\ 3 & 2 & 4 & 324 & 243 \\ 4 & 3 & 2 & 432 & 324 \\ 5 & 4 & 0 & 540 & 405 \\ 6 & 4 & 8 & 648 & 486 \\ 7 & 5 & 6 & 756 & 567 \\ 8 & 6 & 4 & 864 & 648 \\ 9 & 7 & 2 & 972 & 729 \end{matrix}

A sötéttel kiemelt háromjegyű számok a megoldásai a feladatnak. (A 108 nem megoldás, mivel a 75%-a 81, és ez a szám nem tartalmazza a nullát.)
II. eset: Lehet, hogy

\frac{3}{4} \cdot \bar{a b c} = \bar{c a b}

, ekkor

\begin{matrix} \frac{3}{4} (100 a + 10 b + c) = 100 c + 10 a + b, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 300 a + 30 b + 3 c = 400 c + 40 a + 4 b, 260 a + 26 b = 397 c . \end{matrix}

A bal oldali kifejezés osztható 13-mal, a jobb oldali pedig nem. (A

c

egyjegyű pozitív szám.) Így ebben az esetben nem kapunk megoldást.