Feladat: C.900 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Zádeczki Júlia 
Füzet: 2008/január, 23 - 24. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tizes alapú számrendszer, Elsőfokú diofantikus egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2007/május: C.900

Egy különböző számjegyekből álló háromjegyű szám 75%-a ugyanazokból a számjegyekből áll, mint az eredeti, de egyik sem marad a helyén. Melyik ez a szám?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Két eset van:
I. eset: Lehet, hogy 34abc¯=bca¯, ekkor

34(100a+10b+c)=100b+10c+a,
vagyis
300a+30b+3c=400b+40c+4a,296a=37c+370b,8a=c+10b.
Azaz 8a=bc¯, ami egy 8-cal osztható, legfeljebb kétjegyű szám.
 
abcEredeti számÚj szám00000108108081216216162324324243432432324540540405648648486756756567864864648972972729
 
A sötéttel kiemelt háromjegyű számok a megoldásai a feladatnak. (A 108 nem megoldás, mivel a 75%-a 81, és ez a szám nem tartalmazza a nullát.)
II. eset: Lehet, hogy 34abc¯=cab¯, ekkor
34(100a+10b+c)=100c+10a+b,
vagyis
300a+30b+3c=400c+40a+4b,260a+26b=397c.
A bal oldali kifejezés osztható 13-mal, a jobb oldali pedig nem. (A c egyjegyű pozitív szám.) Így ebben az esetben nem kapunk megoldást.