Kezdőlap


Feladat:	B.3952	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Weisz István
Füzet:	2007/december, 535. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szöveges feladatok, Oszthatóság, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/december: B.3952

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az a kérdés, hogy $35 x + 7$ (ahol $x$ az először felhasznált puttonyok száma) milyen maradékot adhat $15$ -tel osztva. Mivel $30$ osztható $15$ -tel, a $30 x$ is osztható vele, vagyis elég azt megvizsgálni, hogy $5 x + 7$ milyen maradékot adhat $15$ -tel osztva. Mivel $5 \cdot 3 = 15$ , célszerűnek tűnik $x$ -nek a 3-mal való osztási maradéka alapján három esetet megkülönböztetni.
I. eset: $x$ osztható 3-mal. Ekkor $5 x$ osztható $5 \cdot 3 = 15$ -tel, tehát $5 x + 7$ maradéka $15$ -tel osztva $7$ .
II. eset: $x$ a 3-mal osztva 1-et ad maradékul: $x = 3 m + 1$ . Ekkor

\begin{matrix} 5 x = 5 (3 m + 1) = 15 m + 5, \end{matrix}

tehát

5 x + 7

maradéka 15-tel osztva

5 + 7 = 12

.
III. eset:

x

a 3-mal osztva 2 maradékot ad:

x = 3 m + 2

. Ekkor

5 x

maradéka 15-tel osztva

5 \cdot 2 = 10

, és így

5 x + 7

maradéka

10 + 7 - 15 = 2

.
Ha a Mikulás csak 15 szaloncukrot rakna egy puttonyba, akkor 2, 7 vagy 12 szaloncukor maradna meg.

Megjegyzés. A feladat megfogalmazása nyelvileg nem volt teljesen precíz, többen félreértelmezték: úgy gondolták, hogy a 35-ös és a 15-ös csoportosítás során ugyanannyi puttonyt kell felhasználniuk, így végeredményül a (triviális)

20 a + 7

kifejezésre jutottak (ez 0 pontot ért). A jó megoldók közül is sokan jelezték a félreérthetőséget, néhányan mindkét változatban megoldották a feladatot.