Kezdőlap


Feladat:	B.3943	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Farkas Ádám László
Füzet:	2007/december, 533 - 534. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Trapézok, Háromszögek hasonlósága, Háromszög területe, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/november: B.3943

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az $A B M$ és a $C D M$ háromszögek hasonlók, mert $M A B ∢ = M C D ∢$ és $M B A ∢ = M D C ∢$ , mivel váltószögek. Legyen $m_{1}$ az $A B M$ , $m_{2}$ a $C D M$ háromszög $M$ -ből induló magassága. A két háromszög hasonlósági aránya:

\begin{matrix} k = \frac{A B}{C D} = \frac{m_{1}}{m_{2}} . \end{matrix}

Ekkor területük aránya:

\begin{matrix} k^{2} = \frac{T_{A B M}}{T_{C D M}} = \frac{\frac{A B \cdot m_{1}}{2}}{\frac{C D \cdot m_{2}}{2}} = \frac{18}{50} . \end{matrix}

Innen

k = \frac{3}{5}

. Mivel a trapéz magassága

m_{1} + m_{2}

, így területe:

\begin{matrix} T & = \frac{A B + C D}{2} (m_{1} + m_{2}) = \frac{k \cdot C D + C D}{2} (k \cdot m_{2} + m_{2}) = \\ = {(k + 1)}^{2} (C D \cdot \frac{m_{2}}{2}) = {(\frac{8}{5})}^{2} \cdot 50 = 128. \end{matrix}

Tehát a trapéz területe 128 egység.