Feladat: B.3943 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Farkas Ádám László 
Füzet: 2007/december, 533 - 534. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Trapézok, Háromszögek hasonlósága, Háromszög területe, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/november: B.3943

Az ABCD trapéz átlói az M pontban metszik egymást. Az ABM és CDM háromszögek területe 18, illetve 50 egység. Mekkora a trapéz területe?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az ABM és a CDM háromszögek hasonlók, mert MAB=MCD és MBA=MDC, mivel váltószögek. Legyen m1 az ABM, m2 a CDM háromszög M-ből induló magassága. A két háromszög hasonlósági aránya:

k=ABCD=m1m2.
Ekkor területük aránya:
k2=TABMTCDM=ABm12CDm22=1850.
Innen k=35. Mivel a trapéz magassága m1+m2, így területe:
T=AB+CD2(m1+m2)=kCD+CD2(km2+m2)==(k+1)2(CDm22)=(85)250=128.

 
 

Tehát a trapéz területe 128 egység.