|
Feladat: |
B.3889 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Almási Gábor András , Csaba Ákos , Csató László , Csige Péter , Csima Géza , Dudás László , Károlyi Gergely , Károlyi Márton , Kiss Réka , Kovács Péter , Kozma Márton , Kurgyis Eszter , Lovász László Miklós , Mercz Béla , Papp Máté , Pesti Veronika , Sümegi Károly , Szalóki Dávid , Szőke Nóra , Tomon István , Udvari Balázs , Varga László , Varga Péter |
Füzet: |
2006/október,
413 - 415. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Többszemélyes véges játékok, Kombinatorikai leszámolási problémák, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2006/február: B.3889 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. A mutatvány végrehajtásához természetesen nincs szükség természetfölötti képességekre. Az alábbiakban megadunk két, legalábbis részben különböző módszert az ötödik lap meghatározására.
1. módszer. A francia kártya lapjai négyféle színűek lehetnek, az öt kártya között tehát vannak azonos színűek. Az első kártya segítségével a segéd így közölheti az utolsónak hagyott kártya színét: megállapodhat a bűvésszel, hogy az utolsó, ötödik lap ugyanolyan színű lesz majd, mint az első. Az egyes színeken belül számozzuk meg a lapokat a szokásos módon 1-től 13-ig: Ász: 1, Kettes: 2, , Tízes: 10, J: 11, Q: 12, K: 13. Ha az utolsónak átadandó lap sorszáma , az elsőé pedig , akkor az első és az ötödik lap színe azonos, azért . Megmutatjuk, hogy előzetes megállapodás után a második, harmadik és negyedik lap segítségével a segéd közölhet annyi információt, hogy a bűvész az ismeretében meg tudja határozni értékét és így magát az utolsó kártyalapot is. Vegyük észre, hogy ha a színeket is rangsoroljuk, mondjuk a bridzsben szokásos treff, káró, kőr, pikk erősség szerint növekvően, és azonos színű lapok között a fenti számozást vesszük figyelembe, akkor bármely két kártyalap sorrendje egyértelműen eldönthető. Egy ilyen, úgynevezett lexikografikus rendezésben ‐ amelyben a segéd és a bűvész jóelőre megállapodhatnak ‐ a középső három kártyalap -féle sorrendben adható át, a segéd tehát 6-féle információt, vagyis megfelelő előzetes megállapodás szerint egy 1 és 6 közé eső egész számot közölhet a bűvésszel. Az és az segítségével próbálhatja meg a segéd a bűvésszel tudatni értékét. Hatféle szám ehhez kevésnek látszik, hiszen az ismeretében az még 12-féle értéket vehet föl. Első ránézésre egyáltalán nem világos, miképpen csökkenthető a felére a lehetőségek száma. Azon múlik a dolog, hogy a segéd a két egyszínű kártyalap közül eldöntheti, melyiket adja át elsőnek és melyiket utoljára, így pedig megfelelő előzetes megállapodás után ezzel is közölhet információt. Egy lehetőség a következő. Legyen a két szélsőnek választott egyszínű kártyalap számértéke és , ahol . Ekkor , különböztessünk meg tehát két esetet aszerint, hogy ez a különbség kisebb-e 7-nél (ez hat lehetőség) vagy pedig nem (ez is hat lehetőség). Az első esetben legyen és , végül , a másodikban pedig legyen , és . Mindkét esetben nyilván , továbbá , tehát az ötödiknek átadott kártyalap számértéke éppen az összeg maradéka 13-mal osztva. Úgy is fogalmazhatjuk a dolgot, hogy ha a kártyalapok számozását ciklikusan folytatjuk mod 13, tehát például a 14-es is Ászt jelent, a 15-ös Kettest, és így tovább, akkor a két érték, és egyikéhez legfeljebb 6-ot adva megkapjuk a másik lap számértékét ‐ esetleg 13-mal eltolva. Ha a segéd ezt a lapot adja át elsőnek, akkor a következő három lap sorrendjével közölheti értékét a bűvésszel, aki az összeg 13-as maradékát kiszámolva megkapja az ötödik lap számértékét.
2. módszer. Ha az első négy között van egy azonosítható ,,viszonyítási kártyalap'', akkor a leírt ciklikus számozás ötletével közvetlenül is a felére csökkenthető a lehetőségek száma. A fenti rendezés alapján például a kártyalapok megszámozhatók az 1-től 52-ig terjedő egész számokkal, Treff Ász: 1-től Pikk Király: 52-ig. Az első négy átadott lapnak a fenti rendezésben -féle sorrendje van, ezt kihasználva 1-től 24-ig bármilyen egész szám lehet. A négy átadott kártyalapon kívül 48 lehetőség van, ezek egyikét kell azonosítani az 24-féle értéke segítségével. A feleknek tehát csak abban kell megállapodniuk, hogy hogyan ismeri föl a bűvész ezt a ,,viszonyítási kártyalapot''. Legyen ez a négy, adott sorrendben átadott kártyalap közül a legnagyobb sorszámú. Ez nem függ a négy lap átadásának a sorrendjétől, ezzel a sorrenddel tehát a segéd nyugodtan közölheti az értékét. Ha az öt lap számozása , akkor ismét két esetet különböztetünk meg. Ha , akkor legyen az az utoljára hagyott lap. Ekkor ha , a trükk sikerül, hiszen a bűvész ki tudja választani -et, mint a négy átadott lap legnagyobbikát, a négy lap sorrendje alapján pedig megkapja értékét. Ha pedig , akkor a rendezés miatt és így a legnagyobb és a legkisebb kártyalap ciklikus távolsága, . Ekkor a segéd az -et hagyja a végére, a bűvész pedig és értékéből megkapja -et, mint az összeg maradékát 52-vel osztva. |
|