A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Jelölje a körök középpontját , és az 1. ábra szerint. Ekkor a , és négyszögek egyaránt egység oldalhosszúságú rombuszok, ezért az , és szakaszok párhuzamosak is. Tehát az négyszög paralelogramma, ezért . Ugyanígy kapjuk , és párhuzamosságából, hogy is paralelogramma, s így , valamint , és párhuzamosságából, hogy is paralelogramma, ahonnan következik. Az háromszög tehát egybevágó a háromszöggel, ezért a körülírható köreik sugara is egyenlő. A háromszög köré egységsugarú kör írható, hiszen -től mindhárom csúcs egységnyi távolságra van.
1. ábra Így az háromszög köré írható kör sugara is egységnyi.
II. megoldás. Használjuk ismét az I. megoldás jelöléseit. Kicsinyítsük -ből felére az háromszöget. Ha két egybevágó kör metszi egymást, akkor közös húrjuk is, és a körök középpontját összekötő egyenes is szimmetriatengelye a két körből álló alakzatnak (2. ábra), ezért a kicsinyítésnél , , képe rendre , , felezőpontja lesz. Az oldalfelezőpontok által alkotott háromszög hasonló az eredetihez és a hasonlóság aránya szintén . Tehát köré ugyanakkora sugarú kör írható, mint köré. Ez utóbbi köré középpontú egységkör írható, ezért az háromszög köré írható kör sugara is egységnyi.
2. ábra
Megjegyzés. Az 1. ábrán látható, hogy a feladatban szereplő körök kétféle módon helyezkedhetnek el. Megoldásaink mindkét esetre vonatkoznak. Voltak azonban olyan beküldők, akik csak az egyik esetre (általában az ábra bal oldalán láthatóra) gondoltak, s bizonyításuk is olyan volt, amely csak némi módosítással működött volna a másik esetben. Ezek a megoldók általában 3 pontot kaptak. |