Feladat: B.3884 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Nagy János 
Füzet: 2006/október, 412 - 413. oldal  PDF file
Témakör(ök): Körülírt kör, Háromszögek hasonlósága, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/február: B.3884

Három egységnyi sugarú kör mindegyike átmegy a P ponton, további metszéspontjaik pedig A, B és C. Mekkora az ABC háromszög köré írható kör sugara?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelölje a körök középpontját X, Y és Z az 1. ábra szerint. Ekkor a PXAY, PXBZ és PYCZ négyszögek egyaránt egység oldalhosszúságú rombuszok, ezért az XA, PY és ZC szakaszok párhuzamosak is. Tehát az XACZ négyszög paralelogramma, ezért AC=ZX. Ugyanígy kapjuk YA, PX és ZB párhuzamosságából, hogy YABZ is paralelogramma, s így AB=ZY, valamint XB, PZ és YC párhuzamosságából, hogy XBCY is paralelogramma, ahonnan BC=YX következik. Az ABC háromszög tehát egybevágó a ZYX háromszöggel, ezért a körülírható köreik sugara is egyenlő. A ZYX háromszög köré egységsugarú kör írható, hiszen P-től mindhárom csúcs egységnyi távolságra van.

 
 

1. ábra
 

Így az ABC háromszög köré írható kör sugara is egységnyi.
 
II. megoldás. Használjuk ismét az I. megoldás jelöléseit. Kicsinyítsük P-ből felére az ABC háromszöget. Ha két egybevágó kör metszi egymást, akkor közös húrjuk is, és a körök középpontját összekötő egyenes is szimmetriatengelye a két körből álló alakzatnak (2. ábra), ezért a kicsinyítésnél A, B, C képe rendre XY, XZ, YZ felezőpontja lesz. Az oldalfelezőpontok által alkotott háromszög hasonló az eredetihez és a hasonlóság aránya szintén 12. Tehát ABC köré ugyanakkora sugarú kör írható, mint XYZ köré. Ez utóbbi köré P középpontú egységkör írható, ezért az ABC háromszög köré írható kör sugara is egységnyi.
 
 

2. ábra
 

 
Megjegyzés. Az 1. ábrán látható, hogy a feladatban szereplő körök kétféle módon helyezkedhetnek el. Megoldásaink mindkét esetre vonatkoznak. Voltak azonban olyan beküldők, akik csak az egyik esetre (általában az ábra bal oldalán láthatóra) gondoltak, s bizonyításuk is olyan volt, amely csak némi módosítással működött volna a másik esetben. Ezek a megoldók általában 3 pontot kaptak.