Kezdőlap


Feladat:	C.844	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csató Bertalan
Füzet:	2006/október, 407. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenes körhengerek, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Térfogat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/február: C.844

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A henger tengelymetszete téglalap, melynek egyik oldala a henger alaplapjának $d$ átmérője, a másik oldala a henger $m$ magassága. Tudjuk, hogy ennek a téglalapnak 90 cm a kerülete: $2 (d + m) = 90$ . A henger térfogata pedig: $V = r^{2} π \cdot m$ . A kerületképletet alakítjuk:

\begin{matrix} d + m = 45 \Rightarrow r + r + m = 45. \end{matrix}

Erre a három pozitív számra a számtani és mértani közepek közti egyenlőtlenség szerint:

\begin{matrix} \frac{r + r + m}{3} \geq \sqrt[3]{r \cdot r \cdot m} . \end{matrix}

A bal oldal értéke

\frac{45}{3} = 15

; a jobb oldal akkor lesz a legnagyobb, ha egyenlőség áll fenn, ennek szükséges és elégséges feltétele pedig

r = r = m

.
Ha

\sqrt[3]{r \cdot r \cdot m}

a lehető legnagyobb, akkor

r \cdot r \cdot m

is a lehető legnagyobb, és

r^{2} \cdot m \cdot π

(vagyis a térfogat) is a lehető legnagyobb. Tehát

r = r = m = \frac{45}{3} = 15

cm,

V_{{max}_{}^{}} = r^{2} π \cdot m = 15^{3} \cdot π

, azaz a henger térfogata legfeljebb

15^{3} \cdot π \approx 10 603 cm^{3}

lehet.