Feladat: C.844 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csató Bertalan 
Füzet: 2006/október, 407. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenes körhengerek, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Térfogat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/február: C.844

Egy henger tengelymetszetének kerülete 90 cm. Legfeljebb mekkora lehet a henger térfogata?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A henger tengelymetszete téglalap, melynek egyik oldala a henger alaplapjának d átmérője, a másik oldala a henger m magassága. Tudjuk, hogy ennek a téglalapnak 90 cm a kerülete: 2(d+m)=90. A henger térfogata pedig: V=r2πm. A kerületképletet alakítjuk:

d+m=45r+r+m=45.
Erre a három pozitív számra a számtani és mértani közepek közti egyenlőtlenség szerint:
r+r+m3rrm3.
A bal oldal értéke 453=15; a jobb oldal akkor lesz a legnagyobb, ha egyenlőség áll fenn, ennek szükséges és elégséges feltétele pedig r=r=m.
Ha rrm3 a lehető legnagyobb, akkor rrm is a lehető legnagyobb, és r2mπ (vagyis a térfogat) is a lehető legnagyobb. Tehát r=r=m=453=15 cm, Vmax=r2πm=153π, azaz a henger térfogata legfeljebb 153π10603cm3 lehet.