Kezdőlap


Feladat:	B.3880	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Dombi Soma , Károlyi Gergely , Nagy János , Sümegi Károly , Szűcs Gergely , Tomon István
Füzet:	2007/április, 220. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Számkörök, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/január: B.3880

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha $n < 10^{9}$ , akkor $n$ legfeljebb $9$ -jegyű, így $n$ kielégíti a feltételeket. Tegyük fel, hogy $10^{k} \leq n < 10^{k + 1}$ , ahol $9 \leq k$ alkalmas egész szám. Tekintsük az összes $2 k$ -jegyű, csak 1, 2, 3, 4 számjegyeket tartalmazó számot. Ezek mindegyike kisebb, mint $10^{2 k} \leq n^{2}$ , a számuk pedig:

\begin{matrix} 4^{2 k} = 16^{k} = 1, 6^{k} \cdot 10^{k} \geq 1, 6^{9} \cdot 10^{k} > {\sqrt[]{2}}^{8} \cdot 10^{k} = 16 \cdot 10^{k} > 10^{k + 1} > n . \end{matrix}

A skatulya-elv miatt kiválasztható közülük kettő, melyek

n

-nel osztva ugyanazt a maradékot adják. E két szám különbsége

n

-nel osztható, továbbá kisebb, mint

n^{2}

. Mivel számjegyeik között csak az 1, 2, 3, 4 számjegyek fordulnak elő, ezért a különbségükben nem szerepel sem 4-es, sem 5-ös számjegy. Ezzel igazoltuk a feladat állítását.